DETERMINE CADA PRIMITIVA
\int \frac{(x+2)}{x^{2}} d x \quad

Passo 1

O enunciado pede determinar a primitiva de
\int \frac{x+2}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais, e vamos precisar reescrever a fração como soma de potências de x para poder usar as regras de integração termo a termo.

Passo 2

Reescrevemos o integrando separando a fração:
\frac{x+2}{x^{2}} = \frac{x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}} = x^{-1} + 2x^{-2}.

Passo 3

Agora integramos cada termo usando \displaystyle \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert
e \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Logo,
\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert,
\int 2x^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -2x^{-1}.

Passo 4

Somando as primitivas de cada termo e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{x+2}{x^{2}}\,dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{2}{x} + C.

Resposta

\ln\lvert x\rvert - \frac{2}{x} + C

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