DETERMINE CADA PRIMITIVA
\int \sqrt{x}(1-x) d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache uma primitiva de
\int \sqrt{x}\,(1 - x)\,dx.
O conteúdo aqui é integrais de potências de x. Para resolver, vamos usar a regra de potência para antiderivadas:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o integrando em termos de potências de x. Como \sqrt{x}=x^{1/2}, temos
\sqrt{x}\,(1 - x) = x^{1/2} - x^{1/2}\cdot x = x^{1/2} - x^{3/2}.
Logo
\int \sqrt{x}\,(1 - x)\,dx = \int \bigl(x^{1/2} - x^{3/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência separadamente em cada termo:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac12+1} = \frac{x^{3/2}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{3/2},
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{3/2+1}}{\tfrac32+1} = \frac{x^{5/2}}{\tfrac52} = \frac{2}{5}\,x^{5/2}.
Como havia um sinal de menos, a segunda contribuição fica -\tfrac{2}{5}x^{5/2}.

Passo 4

Somando as duas antiderivadas e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \bigl(x^{1/2} - x^{3/2}\bigr)\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2} - \frac{2}{5}\,x^{5/2} + C.

Resposta

\boxed{\frac{2}{3}\,x^{3/2} \;-\;\frac{2}{5}\,x^{5/2} + C.}

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