Uma pesquisa de mercado sobre consumo de três marcas
de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:
e
,
e
e
, Nenhuma
Responda: Qual porcentagem de respondentes consome as 3 marcas?
Responda: Qual porcentagem de respondentes consome as 3 marcas?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual porcentagem de respondentes consome as 3 marcas?”\n
As informações dadas são (tudo em porcentagem):
As informações dadas são (tudo em porcentagem):
Passo 2
Vamos definir conjuntos e entender o que cada valor significa de forma concreta, passo a passo (tipo conversa de amigo mesmo). Seja:
os conjuntos de respondentes que consomem cada marca. “Nenhuma” significa os que não consomem nenhuma das três marcas. Como a pesquisa é sobre 100% dos respondentes, o tamanho da união dos três conjuntos (quem consome pelo menos uma marca) é
Agora a ferramenta que vamos usar é a Fórmula da Inclusão-Exclusão para três conjuntos. Essa fórmula diz:
Vou explicar cada termo:
são as porcentagens que consomem cada marca isoladamente; os termos
são as porcentagens que consomem pares; e
é a porcentagem que consome as três — que é justamente o que queremos achar. A ideia da fórmula é evitar contar duas vezes as interseções: somamos os individuais, subtraímos as duplas (porque foram somadas duas vezes), mas então subtraímos demais as interseções triplas, por isso precisamos somá-las de volta.
Passo 3
Isolamos o termo que queremos (
) da fórmula. Reescrevendo:
Explicando a álgebra: movemos os termos de soma e subtração para o outro lado, respeitando sinais, e chegamos nessa expressão direta — essa é a forma prática para calcular a interseção tripla quando temos tudo o mais.
Passo 4
Agora substituímos os números que o enunciado deu. Primeiro calculamos algumas somas intermediárias:
Agora aplicamos na fórmula:
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto a porcentagem que consome as três marcas é
.