Uma pesquisa de mercado sobre consumo de três marcas \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:
A=48 \%, B=45 \%, C=50 \%, A e B=18 \%, B e C=25 \%, A e C=15 \%, Nenhuma =5 \%
Responda: Qual porcentagem de respondentes consome as 3 marcas?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual porcentagem de respondentes consome as 3 marcas?”\n
As informações dadas são (tudo em porcentagem):
A=48\%,\quad B=45\%,\quad C=50\%,
A\\ \text{e}\\ B=18\%,\quad B\\ \text{e}\\ C=25\%,\quad A\\ \text{e}\\ C=15\%,
\text{Nenhuma}=5\%.

Passo 2

Vamos definir conjuntos e entender o que cada valor significa de forma concreta, passo a passo (tipo conversa de amigo mesmo). Seja:
A,\\ B,\\ C
os conjuntos de respondentes que consomem cada marca. “Nenhuma” significa os que não consomem nenhuma das três marcas. Como a pesquisa é sobre 100% dos respondentes, o tamanho da união dos três conjuntos (quem consome pelo menos uma marca) é
|A\cup B\cup C| = 100\% - \text{Nenhuma} = 100\% - 5\% = 95\%.
Agora a ferramenta que vamos usar é a Fórmula da Inclusão-Exclusão para três conjuntos. Essa fórmula diz:
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|.
Vou explicar cada termo: |A|,|B|,|C| são as porcentagens que consomem cada marca isoladamente; os termos |A\cap B|, \dots são as porcentagens que consomem pares; e |A\cap B\cap C| é a porcentagem que consome as três — que é justamente o que queremos achar. A ideia da fórmula é evitar contar duas vezes as interseções: somamos os individuais, subtraímos as duplas (porque foram somadas duas vezes), mas então subtraímos demais as interseções triplas, por isso precisamos somá-las de volta.

Passo 3

Isolamos o termo que queremos ( |A\cap B\cap C|) da fórmula. Reescrevendo:
|A\cap B\cap C| = |A\cup B\cup C| - \big(|A|+|B|+|C|\big) + \big(|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|\big).
Explicando a álgebra: movemos os termos de soma e subtração para o outro lado, respeitando sinais, e chegamos nessa expressão direta — essa é a forma prática para calcular a interseção tripla quando temos tudo o mais.

Passo 4

Agora substituímos os números que o enunciado deu. Primeiro calculamos algumas somas intermediárias:
|A\cup B\cup C| = 95\%,
|A|+|B|+|C| = 48\% + 45\% + 50\% = 143\%,
|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C| = 18\% + 15\% + 25\% = 58\%.
Agora aplicamos na fórmula:
|A\cap B\cap C| = 95\% - 143\% + 58\%.
Fazendo as contas passo a passo:
95\% - 143\% = -48\%,
-48\% + 58\% = 10\%.
Portanto a porcentagem que consome as três marcas é 10\%.

Resposta

10\%

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