Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
\frac{d^{7} b}{d p^{7}}=13 p
(i) ordem,

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d^{7} b}{d p^{7}} = 13\,p.
O que nos pede (parte (i)) é: determinar a ordem da equação diferencial. Informações relevantes fornecidas:
  • A função dependente é b (ou seja, b é função de p).
  • A variável independente é p.
  • Aparece a derivada de b em ordem sete, \dfrac{d^{7}b}{dp^{7}}.
  • O membro direito é a função 13\,p (não contém derivadas).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Vou explicar devagar e com carinho. A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de ordem superior que aparece na equação. Em notação:
  • Se a maior derivada que aparece for \dfrac{d^n y}{dx^n}, então a equação é de ordem n.
    Exemplo rápido para fixar:
  • \dfrac{dy}{dx} = \sin x tem ordem 1 porque a maior derivada é a primeira.
  • \dfrac{d^2 y}{dx^2} + y = 0 tem ordem 2 porque a maior derivada é a segunda.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: na equação dada a derivada mais alta que aparece é \dfrac{d^{7} b}{d p^{7}}, ou seja, a sétima derivada de b em relação a p. Não há derivadas de ordem superior a 7 em nenhum dos lados da igualdade. O fato de o membro direito ser 13\,p (uma função de p sem derivadas) não altera isso.

Passo 4

Portanto, concluímos que a ordem da equação diferencial é a ordem da maior derivada presente, que aqui é 7.

Resposta

\,7\,

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