Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[14.]
x^{\prime}=x-2; função solução x(t)=2+C e^{t}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x' = x - 2
e a função candidata
x(t)=2+C e^{t},
onde C é uma constante arbitrária. A tarefa é usar diferenciação para mostrar que essa função realmente satisfaz a igualdade para todos os valores da constante C.

Passo 2

Relembrando regras básicas de diferenciação que vamos usar:
  • A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se a é constante então \dfrac{d}{dt}a=0.
  • A derivada de um múltiplo constante: \dfrac{d}{dt}\bigl(C\cdot f(t)\bigr)=C\cdot f'(t) quando C é constante em relação a t.
  • A derivada da função exponencial \mathrm{e}^{t} é \dfrac{d}{dt}\mathrm{e}^{t}=\mathrm{e}^{t}.
Essas regras valem sem precisar saber o valor de C; basta que C não dependa de t.

Passo 3

Agora diferenciamos a função candidata termo a termo usando as regras acima.
Derivada do termo constante 2:
\dfrac{d}{dt}2=0.
Derivada do termo C\mathrm{e}^{t} (usar a regra do múltiplo constante e \dfrac{d}{dt}\mathrm{e}^{t}=\mathrm{e}^{t}):
\dfrac{d}{dt}\bigl(C\mathrm{e}^{t}\bigr)=C\mathrm{e}^{t}.
Somando os resultados:
x'(t)=0+C\mathrm{e}^{t}=C\mathrm{e}^{t}.

Passo 4

Calculemos agora o lado direito da equação dada, ou seja x(t)-2, substituindo a função candidata:
x(t)-2=\bigl(2+C\mathrm{e}^{t}\bigr)-2=C\mathrm{e}^{t}.

Passo 5

Comparando os dois lados encontramos
x'(t)=C\mathrm{e}^{t}=x(t)-2
para todo t e para qualquer constante C. Portanto a função x(t)=2+C\mathrm{e}^{t} satisfaz a equação dada para todos os valores de C.

Passo 6

Para fixar a ideia: por que apareceram exatamente essas formas? Se alguém quiser obter essa solução a partir da equação, trata-se de uma equação linear de primeira ordem da forma
x'-x=-2.
Método padrão (fator integrante): multiplicar por \mathrm{e}^{-t}
\mathrm{e}^{-t}x'-\mathrm{e}^{-t}x=-2\mathrm{e}^{-t}.
O lado esquerdo é a derivada de \mathrm{e}^{-t}x, então
\dfrac{d}{dt}\bigl(\mathrm{e}^{-t}x\bigr)=-2\mathrm{e}^{-t}.
Integrando em t obtemos
\mathrm{e}^{-t}x=2\mathrm{e}^{-t}+C,
e multiplicando por \mathrm{e}^{t} vem
x=2+C\mathrm{e}^{t},
confirmando que essa é a família geral de soluções (o C é a constante de integração).

Resposta

x(t)=2+C\mathrm{e}^{t} é solução da equação x'=x-2 para todo C\in\mathbb{R} e todo t\in\mathbb{R}.

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