Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[14.]
; função solução
[14.]
Passo 1
O enunciado dá a equação
e a função candidata
onde
é uma constante arbitrária. A tarefa é usar diferenciação para mostrar que essa função realmente satisfaz a igualdade para todos os valores da constante
.
Passo 2
Relembrando regras básicas de diferenciação que vamos usar:
- A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se
é constante então . - A derivada de um múltiplo constante:
quando é constante em relação a . - A derivada da função exponencial
é .
Essas regras valem sem precisar saber o valor de
; basta que
não dependa de
.
Passo 3
Agora diferenciamos a função candidata termo a termo usando as regras acima.
Derivada do termo constante
:
Derivada do termo
(usar a regra do múltiplo constante e
):
Somando os resultados:
Passo 4
Calculemos agora o lado direito da equação dada, ou seja
, substituindo a função candidata:
Passo 5
Comparando os dois lados encontramos
para todo
e para qualquer constante
. Portanto a função
satisfaz a equação dada para todos os valores de
.
Passo 6
Para fixar a ideia: por que apareceram exatamente essas formas? Se alguém quiser obter essa solução a partir da equação, trata-se de uma equação linear de primeira ordem da forma
Método padrão (fator integrante): multiplicar por
dá
O lado esquerdo é a derivada de
, então
Integrando em
obtemos
e multiplicando por
vem
confirmando que essa é a família geral de soluções (o
é a constante de integração).