Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
y^{(4)}+x y^{\prime \prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+\operatorname{sen} y=0
(i) ordem,

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y^{(4)}+x\,y^{\prime\prime\prime}+x^{2}\,y^{\prime\prime}-x\,y^{\prime}+\operatorname{sen} y=0
e pede, no item (i), que se determine a ordem da equação. As informações relevantes são:
  • Aparecem derivadas de y até o termo y^{(4)}.
  • Existem termos com y^{\prime\prime\prime}, y^{\prime\prime}, y^{\prime} e um termo \operatorname{sen} y (seno de y).
  • A pergunta é apenas: qual a ordem da equação diferencial?

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Ordem é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Em outras palavras, se a maior derivada presente for a n-ésima derivada y^{(n)}, dizemos que a equação é de ordem n.
Exemplos simples para fixar:
  • A equação \;y' = 3\; tem ordem 1 (a maior derivada é y').
  • A equação \;y''+y=0\; tem ordem 2 (a maior derivada é y'').
  • A equação \;y^{(3)}+ \sin y = 0\; tem ordem 3 (a maior derivada é y^{(3)}).

Passo 3

Identificar na equação qual é a maior derivada que aparece. Na equação dada vemos explicitamente o termo \;y^{(4)}\;, que é a quarta derivada de y. Os outros termos com derivadas são de ordem menor: y^{\prime\prime\prime} (terceira), y^{\prime\prime} (segunda) e y^{\prime} (primeira). O termo \operatorname{sen} y depende de y mas não é uma derivada e, portanto, não aumenta a ordem.

Passo 4

Como a maior derivada presente é \;y^{(4)}\;, pela definição do passo 2 a ordem da equação diferencial é 4. Observação: a presença de coeficientes que dependem de x (como x e x^2) ou de termos não lineares em y (como \operatorname{sen} y) não altera a ordem — só o maior índice de derivada importa.

Resposta

Ordem: 4

Exercícios relacionados