Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[14.]
y^{\prime}=4(x+1) y; função solução y(x)=C e^{2 x^{2}+4 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = 4(x+1)\,y
e a função candidata
y(x)=C e^{2 x^{2}+4 x},
onde C é uma constante arbitrária. A tarefa é, por diferenciação, mostrar que substituindo essa y(x) na equação a identidade fica satisfeita para todo valor de C.

Passo 2

Vou lembrar duas regras de derivação que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do fator constante: se C é constante e f(x) é derivável, então \dfrac{d}{dx}\big(C f(x)\big)=C\cdot f'(x). Ou seja, fatores constantes saem da derivada.
  • Regra da cadeia (para exponencial): se u(x) é diferenciável, então \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}. Em palavras: derivada da exponencial é a exponencial multiplicada pela derivada do expoente.
Um exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}e^{3x^2}= (6x)\,e^{3x^2}, porque aqui u(x)=3x^2 e u'(x)=6x.

Passo 3

Identifico o expoente como função
u(x)=2x^{2}+4x.
Derivo u(x) termo a termo:
u'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(2x^{2}\big)+\dfrac{d}{dx}\big(4x\big)=4x+4.
Posso factorizar:
u'(x)=4x+4=4(x+1).

Passo 4

Agora derivo y(x)=C e^{u(x)} usando a regra do fator constante e a regra da cadeia:
y'(x)=C\cdot \dfrac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=C\cdot u'(x)\,e^{u(x)}.

Passo 5

Substituo u'(x)=4(x+1) e u(x)=2x^{2}+4x:
y'(x)=C\cdot 4(x+1)\,e^{2x^{2}+4x}=4(x+1)\, \big(C e^{2x^{2}+4x}\big).

Passo 6

Reconheço que C e^{2x^{2}+4x}=y(x). Portanto
y'(x)=4(x+1)\,y(x),
o que é exatamente a equação diferencial dada. Isso vale para qualquer constante C. Observação: para C=0 obtém-se a solução trivial y\equiv0, que também satisfaz a equação.

Resposta

A função y(x)=C e^{2 x^{2}+4 x} satisfaz \;y'=4(x+1)y\; para todo C\in\mathbb{R}.

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