Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[14.]
; função solução
[14.]
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a função candidata
onde
é uma constante arbitrária. A tarefa é, por diferenciação, mostrar que substituindo essa
na equação a identidade fica satisfeita para todo valor de
.
Passo 2
Vou lembrar duas regras de derivação que vou usar (explicadas de forma simples):
- Regra do fator constante: se
é constante e é derivável, então . Ou seja, fatores constantes saem da derivada. - Regra da cadeia (para exponencial): se
é diferenciável, então . Em palavras: derivada da exponencial é a exponencial multiplicada pela derivada do expoente.
Um exemplo rápido para fixar:
, porque aqui
e
.
Passo 3
Identifico o expoente como função
Derivo
termo a termo:
Posso factorizar:
Passo 4
Agora derivo
usando a regra do fator constante e a regra da cadeia:
Passo 5
Substituo
e
:
Passo 6
Reconheço que
. Portanto
o que é exatamente a equação diferencial dada. Isso vale para qualquer constante
. Observação: para
obtém-se a solução trivial
, que também satisfaz a equação.
Resposta
A função
satisfaz
para todo
.