Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis,
Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em
e em
e checar se a soma é zero.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos que
e
, tratando
como constante:
Passo 3
Calcular a segunda derivada parcial em
. Derivando
em
novamente:
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos que
e
, tratando
como constante:
Passo 5
Calcular a segunda derivada parcial em
. Derivando
em
novamente:
Passo 6
Somar as duas segundas derivadas:
Portanto, a função é harmônica e satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
Sim,
é solução da equação de Laplace.