Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace ux x+uy y=0.
u=sen x cosh y+cos x senh y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
u(x,y)=sin x,cosh y+cos x,sinh y
satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis,
uxx+uyy=0
Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em x e em y e checar se a soma é zero.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de u em relação a x. Usamos que ddxsin x=cos x e ddxcos x=-sin x, tratando y como constante:
ux =partial upartial x =cos x,cosh y ;-;sin x,sinh y

Passo 3

Calcular a segunda derivada parcial em x. Derivando ux em x novamente:
uxx =partialpartial xl(cos x,cosh y - sin x,sinh yr) =-sin x,cosh y ;-;cos x,sinh y

Passo 4

Calcular a derivada parcial de u em relação a y. Usamos que ddycosh y=sinh y e ddysinh y=cosh y, tratando x como constante:
uy =partial upartial y =sin x,sinh y ;+;cos x,cosh y

Passo 5

Calcular a segunda derivada parcial em y. Derivando uy em y novamente:
uyy =partialpartial yl(sin x,sinh y + cos x,cosh yr) =sin x,cosh y ;+;cos x,sinh y

Passo 6

Somar as duas segundas derivadas:
uxx+uyy =l(-sin x,cosh y-cos x,sinh yr) +l(sin x,cosh y+cos x,sinh yr) =0
Portanto, a função é harmônica e satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Sim, u(x,y)=sin x,cosh y+cos x,sinh y é solução da equação de Laplace.

Exercícios relacionados