Encontre a área da superfície de um elipsóide obtida pela rotação da elipse x^2a^2+y^2b^2=1 em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a meia-elipse
x^2a^2+y^2b^2=1, -b<= y<= b,;x>=0
em torno do eixo y.
Conteúdo: superfície de revolução.
Fórmula básica: se uma curva x=x(y) é girada em torno de y,
S ;=;2piintegraly1^y2x(y),raiz1+l(x'(y)r)^2,dy

Passo 2

É mais prático usar parametrização da meia-elipse no semiplano x>=0:
x(t)=acos t, y(t)=bsin t, tinl[-tfracpi2,tfracpi2r]
Então
x'(t)=-asin t, y'(t)=bcos t,
e o elemento de arco é
ds =raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt =raiza^2sin^2t+b^2cos^2t;dt

Passo 3

A área de revolução em torno de y usando só a meia-elipse ( x>=0 ) é
S =2piintegral-pi/2^pi/2x(t),ds =2piintegral-pi/2^pi/2acos t;raiza^2sin^2t+b^2cos^2t;dt
Como o integrando é par,
S =4pi aintegral0^pi/2cos t;raiza^2sin^2t+b^2cos^2t;dt

Passo 4

Faça a mudança de variável
u=sin t, du=cos t,dt,
quando t vai de 0 a pi/2, u vai de 0 a 1. O integrando fica
cos t,raiza^2sin^2t+b^2cos^2t,dt ;=; raiza^2u^2+b^2(1-u^2),du ;=;raizb^2-(b^2-a^2)u^2;du
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S =4pi aintegral0^1raizb^2-(b^2-a^2)u^2;du

Passo 5

Use a primitiva padrão
integralraizalpha-beta u^2,du =u2raizalpha-beta u^2 +alpha2raizbeta arcsin!l(raiztfracbetaalpha,ur),
com alpha=b^2, beta=b^2-a^2. Em u=1 isso dá
12,a +b^22raizb^2-a^2 arcsin!l(raiz1-tfraca^2b^2r) =a2+b2earcsin e,
onde definimos
e=raiz1-a^2b^2(b>= a)
Em u=0 a primitiva vale zero.

Passo 6

Substituindo em S=4pi al[primitiva(1)r] obtém-se
S =4pi al(a2+b2earcsin er) =2pi a^2+2pi a be,arcsin e
Fatorando 2pi a^2, chega-se à forma usual:

Resposta

Para (esferoide oblato) a expressão equivalente é

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