Encontre a área da superfície de um elipsóide obtida pela rotação da elipse
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a meia-elipse
em torno do eixo
.
Conteúdo: superfície de revolução.
Fórmula básica: se uma curva é girada em torno de
,
Conteúdo: superfície de revolução.
Fórmula básica: se uma curva
Passo 2
É mais prático usar parametrização da meia-elipse no semiplano
:
Então
e o elemento de arco é
Passo 3
A área de revolução em torno de
usando só a meia-elipse (
) é
Como o integrando é par,
Passo 4
Faça a mudança de variável
quando
vai de
a
,
vai de
a
. O integrando fica
Logo
Passo 5
Use a primitiva padrão
com
,
. Em
isso dá
onde definimos
Em
a primitiva vale zero.
Passo 6
Substituindo em
obtém-se
Fatorando
, chega-se à forma usual:
Resposta
Para
(esferoide oblato) a expressão equivalente é