Sendo f(x)=2 x raiz1-x^2, mostre que:
f(sen theta)=f(cos theta)=sen(2 theta)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = 2xraiz1 - x^2
e pede para mostrarmos que
f(sentheta) = f(costheta) = sen(2theta)
Para isso, vamos usar as identidades trigonométricas
sen^2theta + cos^2theta = 1
e
sen(2theta) = 2,sentheta costheta

Passo 2

Calculemos f(sentheta). Substituindo x=sentheta em f, vem
f(sentheta) = 2,sentheta ,raiz1 - sen^2theta = 2,sentheta ,raizcos^2theta
Como raizcos^2theta=|costheta| e, por convenção (ou escolhendo theta em um intervalo onde costheta>=0), temos raizcos^2theta=costheta, segue
f(sentheta) = 2,sentheta,costheta = sen(2theta)

Passo 3

De modo análogo, para x=costheta temos
f(costheta) = 2,costheta ,raiz1 - cos^2theta = 2,costheta ,raizsen^2theta = 2,costheta,|sentheta|
Assumindo sentheta>=0 no mesmo intervalo, raizsen^2theta=sentheta e portanto
f(costheta) = 2,costheta,sentheta = sen(2theta)

Resposta

f(sentheta) = f(costheta) = sen(2theta)

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