Determine se cada uma das seguintes sequências é crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. Também determine se a sequência é limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada.
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para analisar dois aspectos:
- Monotonicidade – saber se
é crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. - Limites de conjunto – verificar se
é limitada superiormente, limitada inferiormente ou totalmente limitada.
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, comparemos
e
. Temos
Observe que:
- Se
é ímpar, então e . - Se
é par, então e .
Além disso,, então o módulo cresce.
Como os termos mudam de sinal a cada passo e em módulo aumentam, a sequência nem cresce nem decresce de forma consistente. Logo, não é crescente, não é decrescente, tampouco é não crescente ou não decrescente.
Passo 3
Para verificar se a sequência é limitada, note que os termos positivos são
e os termos negativos são
Portanto não existe um teto finito nem um piso finito que contenha todos os
. A sequência não é limitada superiormente, não é limitada inferiormente e, consequentemente, não é limitada no sentido total.
Resposta
A sequência
não é crescente, não é decrescente, não é não crescente nem não decrescente, e também não é limitada (nem superiormente nem inferiormente).