Determine se cada uma das seguintes sequências é crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. Também determine se a sequência é limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada.
(-1)^n+1 2 n.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = (-1)^n+1,2n
e pede para analisar dois aspectos:
  1. Monotonicidade – saber se an é crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente.
  2. Limites de conjunto – verificar se an é limitada superiormente, limitada inferiormente ou totalmente limitada.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, comparemos an e an+1. Temos
an = (-1)^n+1,2n, an+1 = (-1)^(n+1)+1,2(n+1) = -,(-1)^n+1,2(n+1)
Observe que:
  • Se n é ímpar, então an>0 e an+1<0.
  • Se n é par, então an<0 e an+1>0.
    Além disso, lvert an+1rvert = 2(n+1) > 2n = lvert anrvert, então o módulo cresce.
    Como os termos mudam de sinal a cada passo e em módulo aumentam, a sequência nem cresce nem decresce de forma consistente. Logo, não é crescente, não é decrescente, tampouco é não crescente ou não decrescente.

Passo 3

Para verificar se a sequência é limitada, note que os termos positivos são
;2,;6,;10,;dots;longrightarrow +infty
e os termos negativos são
;-4,;-8,;-12,;dots;longrightarrow -infty
Portanto não existe um teto finito nem um piso finito que contenha todos os an. A sequência não é limitada superiormente, não é limitada inferiormente e, consequentemente, não é limitada no sentido total.

Resposta

A sequência (-1)^n+12n não é crescente, não é decrescente, não é não crescente nem não decrescente, e também não é limitada (nem superiormente nem inferiormente).

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