Determine se cada uma das seguintes sequências é crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. Também determine se a sequência é limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada.
2-nn^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para a sequência
an = 2 - nn^2+1
ser classificada em termos de monotonicidade (crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente) e em termos de limitação (limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada). Vamos usar comparação de termos consecutivos para a monotonicidade e o cálculo do limite quando ntoinfty para a limitação.

Passo 2

Para ver se a sequência é crescente ou decrescente, comparamos an+1 e an. Definimos
De<an = an+1 - an = l(2 - n+1(n+1)^2+1r) - l(2 - nn^2+1r) = nn^2+1 - n+1(n+1)^2+1

Passo 3

Colocando em um único quociente,
De<an = nl((n+1)^2+1r) - (n+1)(n^2+1)(n^2+1)l((n+1)^2+1r)
No numerador temos
nl(n^2+2n+2r) - (n^3+n^2+n+1) = n^3+2n^2+2n - (n^3+n^2+n+1) = n^2+n-1
Para todo n>=1, n^2+n-1>=1>0. Como o denominador é positivo, conclui-se que De<an>0, ou seja,
an+1>anforall n>=1
Logo a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Para verificar a limitação, calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty an = limntoinftyl(2 - nn^2+1r) = 2 - limntoinftynn^2+1 = 2 - 0 = 2
Como a sequência é crescente e tende a 2, temos an<2 para todo n. Além disso, o menor valor ocorre em n=1:
a1 = 2 - 12 = tfrac32
Portanto an está sempre entre tfrac32 e 2.

Passo 5

Da monotonicidade, an é crescente.
Da limitação, an tem um limite superior 2 e um limite inferior tfrac32, isto é, é limitada superiormente e inferiormente (logo limitada).

Resposta

A sequência 2 - tfracnn^2+1 é crescente e limitada (superiormente por 2 e inferiormente por tfrac32).

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