Determine se cada uma das seguintes sequências é crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. Também determine se a sequência é limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada.
.
Passo 1
O enunciado pede para a sequência
ser classificada em termos de monotonicidade (crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente) e em termos de limitação (limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada). Vamos usar comparação de termos consecutivos para a monotonicidade e o cálculo do limite quando
para a limitação.
Passo 2
Para ver se a sequência é crescente ou decrescente, comparamos
e
. Definimos
Passo 3
Colocando em um único quociente,
No numerador temos
Para todo
,
. Como o denominador é positivo, conclui-se que
, ou seja,
Logo a sequência é estritamente crescente.
Passo 4
Para verificar a limitação, calculamos o limite quando
:
Como a sequência é crescente e tende a
, temos
para todo
. Além disso, o menor valor ocorre em
:
Portanto
está sempre entre
e
.
Passo 5
Da monotonicidade,
é crescente.
Da limitação, tem um limite superior
e um limite inferior
, isto é, é limitada superiormente e inferiormente (logo limitada).
Da limitação,
Resposta
A sequência
é crescente e limitada (superiormente por
e inferiormente por
).