Determine se, cada uma das seguintes séries, converge ou diverge. Se a série convergir, encontre sua soma. S.leu
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre séries geométricas, que são séries com uma razão constante entre os termos consecutivos. Vamos precisar entender como identificar uma série geométrica e como calcular sua soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
Podemos separar essa soma em duas séries distintas:
Isso fica:
Simplificando as frações:
Passo 3
Agora, vamos identificar o tipo dessas séries. Cada uma delas é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde é a razão comum. Para as séries geométricas, sabemos que elas convergem se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, . Se isso acontecer, podemos calcular a soma da série usando a fórmula:
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das séries que separamos.
Para a primeira série:
Como , a série converge. A soma é:
131 - 13 = 1323 = 12
Para a segunda série: r = 12
Também, | 12 | < 1 , então essa série também converge. A soma é: