Determine se, cada uma das seguintes séries, converge ou diverge. Se a série convergir, encontre sua soma.
sumn=1^infty 2^n+3^n6^n ; S.leu

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty 2^n+3^n6^n converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre séries geométricas, que são séries com uma razão constante entre os termos consecutivos. Vamos precisar entender como identificar uma série geométrica e como calcular sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
sumn=1^infty 2^n + 3^n6^n
Podemos separar essa soma em duas séries distintas:
sumn=1^infty 2^n6^n + sumn=1^infty 3^n6^n
Isso fica:
sumn=1^infty (26)^n + sumn=1^infty (36)^n
Simplificando as frações:
sumn=1^infty (13)^n + sumn=1^infty (12)^n

Passo 3

Agora, vamos identificar o tipo dessas séries. Cada uma delas é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=1^infty r^n
onde r é a razão comum. Para as séries geométricas, sabemos que elas convergem se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, |r| < 1 . Se isso acontecer, podemos calcular a soma da série usando a fórmula:
Soma = r1 - r

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das séries que separamos.
  1. Para a primeira série: r = 13
    Como | 13 | < 1 , a série converge. A soma é:
131 - 13 = 1323 = 12
  1. Para a segunda série: r = 12
    Também, | 12 | < 1 , então essa série também converge. A soma é:
121 - 12 = 1212 = 1

Passo 5

Agora, basta somar as duas somas que encontramos:
12 + 1 = 32

Resposta

A série converge e sua soma é 32.

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