Determine se, cada uma das seguintes séries, converge ou diverge. Se a série convergir, encontre sua soma.
1.6 sumn=1^infty(12^n-1+23^n-1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar se a série sumn=1^infty(12^n-1+23^n-1) converge ou diverge. Se ela convergir, temos que encontrar a soma dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão. Essa série converge se |r| < 1 e a soma é dada por a1 - r.

Passo 3

Nossa série é a soma de duas séries geométricas:
sumn=1^infty12^n-1 e sumn=1^infty23^n-1
Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 4

Para a primeira série sumn=1^infty12^n-1:
Podemos reescrever o índice para começar em n=0:
sumn=0^infty12^n
Aqui, a = 1 e r = 12. Como |r| = 12 < 1, a série converge.

Passo 5

Calculando a soma da primeira série:
sumn=0^infty12^n = 11 - 12 = 2

Passo 6

Agora, para a segunda série sumn=1^infty23^n-1:
Novamente, reescrevemos o índice começando em n=0:
sumn=0^infty23^n
Aqui, a = 2 e r = 13. Como |r| = 13 < 1, essa série também converge.

Passo 7

Calculando a soma da segunda série:
sumn=0^infty23^n = 21 - 13 = 3

Passo 8

Finalmente, somamos as duas séries para encontrar a soma total da série original:
2 + 3 = 5

Resposta

A série sumn=1^infty(12^n-1+23^n-1) converge e a sua soma é igual a 5.

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