Determine se, cada uma das seguintes séries, converge ou diverge. Se a série convergir, encontre sua soma.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, temos que encontrar a soma dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. Essa série converge se
e a soma é dada por
.
Passo 3
Nossa série é a soma de duas séries geométricas:
Vamos analisar cada uma separadamente.
Passo 4
Para a primeira série
:
Podemos reescrever o índice para começar em
:
Aqui,
e
. Como
, a série converge.
Passo 5
Calculando a soma da primeira série:
Passo 6
Agora, para a segunda série
:
Novamente, reescrevemos o índice começando em
:
Aqui,
e
. Como
, essa série também converge.
Passo 7
Calculando a soma da segunda série:
Passo 8
Finalmente, somamos as duas séries para encontrar a soma total da série original:
Resposta
A série
converge e a sua soma é igual a 5.