Determine se, cada uma das seguintes séries, converge ou diverge. Se a série convergir, encontre sua soma.
sumn=1^infty[3n(n+1)+12^n].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que é a soma de dois termos: 3n(n+1) e 12^n. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma chega perto de um número específico) ou diverge (não chega a lugar nenhum). Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
sumn=1^infty[3n(n+1)+12^n] = sumn=1^infty3n(n+1) + sumn=1^infty12^n
Agora, vamos analisar cada série individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira série: sumn=1^infty3n(n+1).
Essa expressão pode ser simplificada usando frações parciais. Sabemos que:
1n(n+1) = 1n - 1n+1
Multiplicando por 3:
3n(n+1) = 3(1n - 1n+1)

Passo 4

Agora, vamos escrever os primeiros termos dessa série para ver o que acontece:
3(11 - 12) + 3(12 - 13) + 3(13 - 14) + dots
Você vê o que está acontecendo? Os termos intermediários se cancelam, deixando apenas:
3(1 - 1n+1)
À medida que n tende ao infinito, 1n+1 vai para zero, então a soma dessa série é:
3(1 - 0) = 3
Portanto, sumn=1^infty3n(n+1) converge e sua soma é 3.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série: sumn=1^infty12^n.
Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral sumn=1^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão.
No nosso caso, a = 12 e r = 12.
Sabemos que uma série geométrica converge se |r| < 1, o que é verdade aqui.

Passo 6

A soma de uma série geométrica que converge é dada por:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 121 - 12 = 1212 = 1
Então, sumn=1^infty12^n também converge, com soma igual a 1.

Resposta

A série sumn=1^infty[3n(n+1)+12^n] converge e sua soma é 3 + 1 = 4.

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