Determine se, cada uma das seguintes séries, converge ou diverge. Se a série convergir, encontre sua soma.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que é a soma de dois termos:
e
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma chega perto de um número específico) ou diverge (não chega a lugar nenhum). Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Agora, vamos analisar cada série individualmente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira série:
.
Essa expressão pode ser simplificada usando frações parciais. Sabemos que:
Multiplicando por 3:
Passo 4
Agora, vamos escrever os primeiros termos dessa série para ver o que acontece:
Você vê o que está acontecendo? Os termos intermediários se cancelam, deixando apenas:
À medida que
tende ao infinito,
vai para zero, então a soma dessa série é:
Portanto,
converge e sua soma é 3.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda série:
.
Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão.
No nosso caso,
e
.
Sabemos que uma série geométrica converge se
, o que é verdade aqui.
Passo 6
A soma de uma série geométrica que converge é dada por:
Substituindo os valores:
Então,
também converge, com soma igual a 1.
Resposta
A série
converge e sua soma é
.