Utilize o teste de comparação, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
sumn=1^infty nraizn^5+4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste de comparação para descobrir se a série sumn=1^infty nraizn^5+4 converge ou diverge. Esse teste é uma ferramenta que comparamos nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge, pra ver o que acontece com a nossa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão nraizn^5+4. Quando o n fica grande, os termos menores (como o +4) têm pouca influência, então podemos aproximar raizn^5+4 approx raizn^5 = n^2.5. Assim, nossa expressão fica mais simples: nn^2.5 = 1n^1.5.

Passo 3

Agora, temos uma série comparável: sumn=1^infty 1n^1.5. Essa é uma série p, onde p = 1.5. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Então, sumn=1^infty 1n^1.5 converge.

Passo 4

Vamos aplicar o teste de comparação. Nossa série original nraizn^5+4 é aproximadamente 1n^1.5, que é menor que 1n para n grande. Como sum 1n^1.5 converge e nossa série é menor ou igual a ela, pelo teste de comparação também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty nraizn^5+4 converge pelo teste de comparação.

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