Utilize o teste de comparação, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste de comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Esse teste é uma ferramenta que comparamos nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge, pra ver o que acontece com a nossa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Quando o n fica grande, os termos menores (como o +4) têm pouca influência, então podemos aproximar
. Assim, nossa expressão fica mais simples:
.
Passo 3
Agora, temos uma série comparável:
. Essa é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Então,
converge.
Passo 4
Vamos aplicar o teste de comparação. Nossa série original
é aproximadamente
, que é menor que
para n grande. Como
converge e nossa série é menor ou igual a ela, pelo teste de comparação também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste de comparação.