Determine se cada um dos seguintes sinais é periódico ou não. Se um sinal for periódico, determine o seu período fundamental.
x_{1}(t)=2 e^{j(t+\pi / 4)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sinal
x_{1}(t)=2\,e^{j\bigl(t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)}
é periódico e, em caso afirmativo, determinar seu período fundamental. O conteúdo aqui é a periodicidade de exponenciais complexas em tempo contínuo: um sinal e^{j\omega_{0}t} é periódico se existir T>0 tal que
e^{j\omega_{0}(t+T)}=e^{j\omega_{0}t}\quad\forall t.

Passo 2

Observe que
x_{1}(t)=2\,e^{j\bigl(t+\frac{\pi}{4}\bigr)} =2\,e^{j\frac{\pi}{4}}\;e^{j\,t}.
O fator constante 2\,e^{j\pi/4} não afeta a periodicidade, resta analisar e^{j\,t}.

Passo 3

Para ser periódico deve existir T>0 tal que
e^{j\,(t+T)}=e^{j\,t} \quad\Longrightarrow\quad e^{jT}=1.
A condição e^{jT}=1 ocorre sempre que
T=2\pi k,
com k inteiro.

Passo 4

O menor T>0 que satisfaz T=2\pi k é obtido para k=1, ou seja
T_{0}=2\pi.
Logo x_{1}(t) repete seu valor sempre que t aumenta de 2\pi.

Resposta

O sinal x_{1}(t) é periódico, com período fundamental
T_{0}=2\pi.

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