Determine se cada um dos seguintes sinais é periódico ou não. Se um sinal for periódico, determine o seu período fundamental.
x_{4}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\delta[n-4 k]}

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto
x_{4}[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[n - 4k]
e pede para verificar se ele é periódico. Se for, queremos o menor N_{0}>0 tal que
x_{4}[n + N_{0}] = x_{4}[n]\quad\forall n.

Passo 2

Lembrando a definição: um sinal discreto x[n] é periódico de período N_{0}\in\mathbb{Z}^{+} se e somente se
x[n + N_{0}] = x[n]\quad\text{para todo }n.

Passo 3

Calculemos x_{4}[n+4]:
x_{4}[n+4] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\bigl[(n+4) - 4k\bigr] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\bigl[n - 4(k-1)\bigr].
Fazendo a troca de índice m = k-1, temos
x_{4}[n+4] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta[n - 4m] = x_{4}[n].

Passo 4

Portanto x_{4}[n] satisfaz a condição de periodicidade com N_{0}=4. Não existe período positivo menor que 4 que funcione, logo esse é o período fundamental.

Resposta

O sinal x_{4}[n] é periódico e seu período fundamental é 4.

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