Mostre que o sinal exponencial complexo x(t)=e^{-j \omega t} é periódico e que seu período fundamental é 2 \pi / \omega.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o sinal complexo
x(t)=e^{-j\omega t}
é periódico e determinar o seu período fundamental.
O conteúdo aqui é a definição de periodicidade de sinais: um sinal x(t) é periódico se existe um T>0 tal que
x(t+T)=x(t)\quad\forall t.
Vamos usar essa definição aplicada ao exponencial complexo.

Passo 2

Impondo a condição de periodicidade, calculamos
x(t+T)=e^{-j\omega\,(t+T)} =e^{-j\omega t}\;e^{-j\omega T}.
Para que x(t+T)=x(t) valha para todo t, precisamos que o fator extra seja igual a 1, isto é,
e^{-j\omega T}=1.

Passo 3

Sabemos que e^{j\theta}=1 sempre que \theta=2\pi k, com k\in\mathbb{Z}. Aqui temos \theta=-\omega T, logo
-\omega T = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\pi k}{\omega},
com k inteiro.

Passo 4

Dentre todas as soluções T=\tfrac{2\pi k}{\omega}, queremos o menor T>0. Isso ocorre para k=1, resultando no período fundamental
T_0 = \frac{2\pi}{\omega}.

Resposta

O sinal x(t)=e^{-j\omega t} é periódico, e seu período fundamental é
T_0 = \frac{2\pi}{\omega}.

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