Determine se cada um dos seguintes sinais é periódico ou não. Se um sinal for periódico, determine o seu período fundamental.
x_{5}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\delta[n-4 k]-\delta[n-1-4 k]})

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto
x_{5}[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\bigl(\delta[n-4k] - \delta[n-1-4k]\bigr)
e pede para determinar se ele é periódico. Se for periódico, queremos o menor N>0 tal que
x_{5}[n+N] = x_{5}[n]\quad\forall n.
O conteúdo é periodicidade em sinais de tempo discreto.

Passo 2

Observe que \sum_{k}\delta[n-4k] é um trem de impulsos com impulsos em n=0,4,8,\dots, logo satisfaz
\sum_{k}\delta[(n+4)-4k] \;=\;\sum_{k}\delta[n-4(k-1)] \;=\;\sum_{k'}\delta[n-4k'] = \sum_{k}\delta[n-4k].
Portanto esse termo é periódico de período 4. Analogamente
\sum_{k}\delta[n-1-4k]
é um trem de impulsos em n=1,5,9,\dots e também satisfaz
\sum_{k}\delta[(n+4)-1-4k] = \sum_{k'}\delta[n-1-4k'],
ou seja, é periódico de período 4 também.

Passo 3

Como cada parcela, \sum_{k}\delta[n-4k] e \sum_{k}\delta[n-1-4k], tem período 4, a diferença
x_{5}[n] = \sum_{k}\delta[n-4k] - \sum_{k}\delta[n-1-4k]
será periódica com período dado pelo mínimo múltiplo comum dos seus períodos individuais. Aqui ambos são 4, logo
N = \mathrm{lcm}(4,4) = 4
é um período do sinal.

Passo 4

Para verificar que 4 é o período fundamental, testamos se existe N<4 que satisfaz x_{5}[n+N]=x_{5}[n]. O vetor de amostras em um bloco de 4 valores é
\bigl[x_{5}[0],x_{5}[1],x_{5}[2],x_{5}[3]\bigr] = [1,\,-1,\,0,\,0].
Nenhum N em \{1,2,3\} reproduz esse padrão inteiramente, pois por exemplo para N=2 teríamos que
x_{5}[2]=x_{5}[0]=1,
mas na realidade x_{5}[2]=0. Logo não há período menor que 4.

Resposta

O sinal x_{5}[n] é periódico de período fundamental 4.

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