Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
\left\{\frac{3}{16}, \frac{4}{25}, \frac{5}{36}, \frac{6}{49}, \ldots\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
\{a_k\} = \bigl\{\,\tfrac{3}{16},\,\tfrac{4}{25},\,\tfrac{5}{36},\,\tfrac{6}{49},\dots\bigr\}
converge ou diverge e, se convergir, determinar o seu limite. O conteúdo é limite de sequência numérica, em particular de sequência dada por razão de polinômios.

Passo 2

Para trabalhar com limites precisamos do termo geral. Observando que no numerador começamos em 3 e aumentamos de 1 em 1, e no denominador temos 4^2,5^2,6^2,7^2,\dots, podemos indexar por k\ge1:
a_k = \frac{k+2}{\,(k+3)^2}\,.

Passo 3

Note que a_k é uma razão de polinômios em k: o numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite da sequência é zero. Formalmente, dividimos numerador e denominador por k^2:

Passo 4

\lim_{k\to\infty}a_k = \lim_{k\to\infty}\frac{k+2}{(k+3)^2} = \lim_{k\to\infty}\frac{\tfrac{k}{k^2}+\tfrac{2}{k^2}}{\bigl(\tfrac{k+3}{k}\bigr)^2} = \frac{0+0}{(1+0)^2} =0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{k\to\infty} \frac{k+2}{(k+3)^2} = 0.

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