Questão 6 - Valor 2 pts
Resolva o PVI a seguir:
y^{\prime}{ }^{\prime}-5 y^{\prime}+4 y=0 ; \quad y(0)=3, y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 5y' + 4y = 0,\quad y(0)=3,\;y'(0)=5
Esse é um EDO linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 - 5r + 4 = 0
cuja fatoração leva a r = 1 e r = 4.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{4x}.

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(x). Derivando, obtemos
y'(x) = C_1 e^{x} + 4C_2 e^{4x}.

Passo 5

Impondo y(0)=3 e y'(0)=5, formamos o sistema
C_1 + C_2 = 3,
C_1 + 4C_2 = 5.
Subtraindo a primeira equação da segunda resulta em
3C_2 = 2\quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{2}{3},
e portanto
C_1 = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, fica
y(x) = \frac{7}{3}e^{x} + \frac{2}{3}e^{4x}.

Resposta

y(x) = \frac{7}{3}e^{x} + \frac{2}{3}e^{4x}

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