Verifique se f satisfaz a equação de Laplace:
f(x, y)=x^{3} y+x y-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x^{3}y + x y - 2
satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis, isto é, se
\Delta f = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = 0.
Para isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais f_{xx} e f_{yy} e somá-las.

Passo 2

Derivando em relação a x encontramos a primeira derivada
f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2}y + y
e, derivando mais uma vez em relação a x,
f_{xx} = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = 6xy.

Passo 3

Derivando em relação a y obtemos
f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + x
e, derivando novamente em relação a y,
f_{yy} = \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = 0.

Passo 4

Agora somamos as segundas derivadas para ver se \Delta f=0:
\Delta f = f_{xx} + f_{yy} = 6xy + 0 = 6xy.
Como 6xy não é identicamente zero para todos os (x,y), a soma das segundas derivadas não se anula.

Resposta

A função f(x,y)=x^{3}y + x y - 2 não satisfaz a equação de Laplace, pois
\Delta f = 6xy \neq 0.

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