Determine se cada série abaixo converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+2^{n}}
converge ou diverge. O conteúdo principal que vamos usar é o teste de comparação para séries de termos positivos e o fato de que uma série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} r^n
converge se \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Para todo n\ge1 temos
n + 2^n > 2^n \quad\Longrightarrow\quad 0 < \frac{1}{n + 2^n} < \frac{1}{2^n}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}
é uma série geométrica de razão r = \tfrac12 com \lvert r\rvert<1, logo ela converge.

Passo 3

Pelo teste de comparação, como
0 \le \frac{1}{n+2^n} \le \frac{1}{2^n}
e \sum 1/2^n converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+2^n}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+2^{n}} converge.

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