Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
an=n-sen(n)n+cos (n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência an = n - sin(n)n + cos(n) é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos achar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções à medida que n tende ao infinito, além de entender como as funções trigonométricas sin(n) e cos(n) se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com os termos da sequência quando n cresce cada vez mais. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com n e funções trigonométricas sin(n) e cos(n) .
Sabemos que sin(n) e cos(n) são funções que oscilam entre -1 e 1, ou seja, seus valores são sempre limitados. Por outro lado, n cresce sem limites à medida que aumenta.

Passo 3

Para entender melhor o comportamento da sequência, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por n . Isso ajuda a simplificar a expressão e a identificar quais termos realmente influenciam o limite.
Então, temos:
an = n - sin(n)n + cos(n) = n/n - sin(n)/nn/n + cos(n)/n = 1 - sin(n)n1 + cos(n)n

Passo 4

Agora, vamos analisar os termos sin(n)n e cos(n)n . Como sin(n) e cos(n) estão sempre entre -1 e 1, quando dividimos por n que está aumentando sem limites, esses termos vão se aproximar de 0. Matemáticamente:
limn to infty sin(n)n = 0 e limn to infty cos(n)n = 0

Passo 5

Substituindo esses limites na expressão que obtivemos no Passo 3:
limn to infty an = 1 - 01 + 0 = 11 = 1
Isso mostra que a sequência an tende para 1 quando n tende ao infinito.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 1.

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