Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos achar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções à medida que
tende ao infinito, além de entender como as funções trigonométricas
e
se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com os termos da sequência quando
cresce cada vez mais. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com
e funções trigonométricas
e
.
Sabemos que
e
são funções que oscilam entre -1 e 1, ou seja, seus valores são sempre limitados. Por outro lado,
cresce sem limites à medida que aumenta.
Passo 3
Para entender melhor o comportamento da sequência, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
. Isso ajuda a simplificar a expressão e a identificar quais termos realmente influenciam o limite.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar os termos
e
. Como
e
estão sempre entre -1 e 1, quando dividimos por
que está aumentando sem limites, esses termos vão se aproximar de 0. Matemáticamente:
Passo 5
Substituindo esses limites na expressão que obtivemos no Passo 3:
Isso mostra que a sequência
tende para 1 quando
tende ao infinito.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é 1.