Pesquise a demonstração da existência do limite de cada uma das sequências abaixo:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n} e pede para demonstrar que
\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=e^{x},
onde x é um número real fixo. Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é dada por a_{n}=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}.
  • Queremos provar que a_{n} tem limite quando n\to\infty e identificar esse limite.
    Observação importante (que vamos usar): se 1+\dfrac{x}{n}\le 0 para alguns primeiros n, isso não impede o estudo do limite, porque para todo número real x existe N tal que, para todo n\ge N, 1+\dfrac{x}{n}>0. Logo a sequência é bem definida e positiva a partir de algum termo, e o limite depende apenas do comportamento para grandes n.

Passo 2

Idéia do método (explicada de forma simples): é mais fácil trabalhar com logaritmos, porque o expoente n vem junto e simplifica. Definimos
a_{n}=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n},\qquad b_{n}=\ln(a_{n})=n\ln\!\left(1+\dfrac{x}{n}\right).
Se conseguirmos mostrar que \lim_{n\to\infty}b_{n}=x, então, usando a continuidade da função exponencial, teremos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}e^{b_{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}b_{n}}=e^{x}.
Agora vamos provar que \lim_{n\to\infty}b_{n}=x.

Passo 3

Transformação que facilita o limite: escrevemos b_{n} de modo a usar um limite padrão. Observe que
b_{n}=n\ln\!\left(1+\dfrac{x}{n}\right)=x\cdot \underbrace{\dfrac{\ln\!\left(1+\dfrac{x}{n}\right)}{\dfrac{x}{n}}}_{\displaystyle r_{n}}.
Definimos r_{n}=\dfrac{\ln\!\left(1+\dfrac{x}{n}\right)}{\dfrac{x}{n}}. Se \lim_{n\to\infty}r_{n}=1, então \lim_{n\to\infty}b_{n}=x\cdot 1=x. Portanto nosso objetivo é mostrar que
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln\!\left(1+\dfrac{x}{n}\right)}{\dfrac{x}{n}}=1.

Passo 4

Cálculo do limite básico usando uma mudança de variável e L’Hôpital (com explicação didática):
  • Faça a mudança de variável t=\dfrac{x}{n}. Quando n\to\infty temos t\to 0.
  • O quociente r_{n} fica na forma \dfrac{\ln(1+t)}{t} quando avaliamos em t=\dfrac{x}{n}.
  • Portanto precisamos mostrar que
\lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1.
  • Porquê isso é verdade? As duas funções do numerador e denominador tendem a zero quando t\to 0, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital (condições satisfeitas: funções diferenciáveis perto de 0, denominador não nulo, indeterminação 0/0). Derivando numerador e denominador em relação a t obtemos
\frac{d}{dt}\big(\ln(1+t)\big)=\dfrac{1}{1+t},\qquad \frac{d}{dt}(t)=1.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to 0}\dfrac{1}{1+t}=\dfrac{1}{1+0}=1.
  • Assim conseguimos \lim_{n\to\infty}r_{n}=1.
Observação alternativa e intuitiva (se quiser decorar): \ln(1+t)\sim t quando t\to 0, isto é, proporcionalmente eles se tornam iguais, daí o quociente tende a 1.

Passo 5

Concluir o limite de b_{n} e, por consequência, de a_{n}:
  • Como \lim_{n\to\infty}r_{n}=1, segue que
\lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}x\cdot r_{n}=x\cdot 1=x.
  • A função exponencial é contínua em todo \mathbb{R}, então aplicando a exponencial aos b_{n} obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}e^{b_{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}b_{n}}=e^{x}.

Passo 6

Tratamento de casos extremos e observações finais (coisa de prova completa):
  • Caso x=0 temos a_{n}=1 para todo n e o limite é 1=e^{0}.
  • Caso x\ne 0 já mostramos o cálculo geral; note que para x<0 devemos garantir positividade dos termos para poder aplicar o logaritmo. Mas existe N tal que, para todo n\ge N, 1+\dfrac{x}{n}>0, portanto a definição de b_{n} vale para todos terminos suficientemente grandes e o limite não muda se ignorarmos um número finito de termos iniciais.
  • Conclusão: para todo x\in\mathbb{R} vale
\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}.

Resposta

e^{x}

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