onde x é um número real fixo. Informações relevantes fornecidas:
A sequência é dada por a_{n}=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}.
Queremos provar que a_{n} tem limite quando n\to\infty e identificar esse limite.
Observação importante (que vamos usar): se 1+\dfrac{x}{n}\le 0 para alguns primeiros n, isso não impede o estudo do limite, porque para todo número real x existe N tal que, para todo n\ge N, 1+\dfrac{x}{n}>0. Logo a sequência é bem definida e positiva a partir de algum termo, e o limite depende apenas do comportamento para grandes n.
Passo 2
Idéia do método (explicada de forma simples): é mais fácil trabalhar com logaritmos, porque o expoente n vem junto e simplifica. Definimos
Definimos r_{n}=\dfrac{\ln\!\left(1+\dfrac{x}{n}\right)}{\dfrac{x}{n}}. Se \lim_{n\to\infty}r_{n}=1, então \lim_{n\to\infty}b_{n}=x\cdot 1=x. Portanto nosso objetivo é mostrar que
Cálculo do limite básico usando uma mudança de variável e L’Hôpital (com explicação didática):
Faça a mudança de variável t=\dfrac{x}{n}. Quando n\to\infty temos t\to 0.
O quociente r_{n} fica na forma \dfrac{\ln(1+t)}{t} quando avaliamos em t=\dfrac{x}{n}.
Portanto precisamos mostrar que
\lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1.
Porquê isso é verdade? As duas funções do numerador e denominador tendem a zero quando t\to 0, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital (condições satisfeitas: funções diferenciáveis perto de 0, denominador não nulo, indeterminação 0/0). Derivando numerador e denominador em relação a t obtemos
Observação alternativa e intuitiva (se quiser decorar): \ln(1+t)\sim t quando t\to 0, isto é, proporcionalmente eles se tornam iguais, daí o quociente tende a 1.
Passo 5
Concluir o limite de b_{n} e, por consequência, de a_{n}:
Tratamento de casos extremos e observações finais (coisa de prova completa):
Caso x=0 temos a_{n}=1 para todo n e o limite é 1=e^{0}.
Caso x\ne 0 já mostramos o cálculo geral; note que para x<0 devemos garantir positividade dos termos para poder aplicar o logaritmo. Mas existe N tal que, para todo n\ge N, 1+\dfrac{x}{n}>0, portanto a definição de b_{n} vale para todos terminos suficientemente grandes e o limite não muda se ignorarmos um número finito de termos iniciais.