Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} 5 \frac{e^{n}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}5\frac{e^{n}}{3^{n}}
converge ou diverge. Esse é um caso clássico de série geométrica, em que vamos usar o critério de convergência \lvert r\rvert<1 e a fórmula da soma quando ela converge.

Passo 2

Reescrevendo a série, vemos que
\sum_{n=1}^{\infty}5\frac{e^{n}}{3^{n}} =5\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{e}{3}\Bigr)^{n}.
Aqui o termo geral é a\,r^{n} com a=5 e
r=\frac{e}{3}.

Passo 3

O critério de convergência para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n} diz que ela converge se, e somente se,
\lvert r\rvert<1.
Como
\Bigl\lvert\frac{e}{3}\Bigr\rvert=\frac{e}{3}<1\quad(\text{pois }e\approx2,718<3),
concluímos que a série converge.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes usamos a fórmula da soma
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n}=\frac{ar}{1-r}.
Substituindo a=5 e r=\frac{e}{3}, temos
\sum_{n=1}^{\infty}5\frac{e^{n}}{3^{n}} =\frac{5\cdot\frac{e}{3}}{1-\frac{e}{3}} =\frac{\tfrac{5e}{3}}{\tfrac{3-e}{3}} =\frac{5e}{3-e}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{5e}{3-e}.

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