Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\pi)^{n}}{8}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma. A série dada é
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\pi)^{n}}{8}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é \dfrac{(-\pi)^{n}}{8} para n=0,1,2,\dots.
  • Não há outros dados numéricos além de \pi e do fator 1/8.

Passo 2

Identificar a forma da série e lembrar testes úteis (pequena aula):
  • Uma série geométrica tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}, onde a é o primeiro termo e r é a razão. Para essa série vale a fórmula (quando converge):
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1-r}\quad\text{se, e somente se,}\quad |r|<1.
Aqui a e r são números: a é o coeficiente multiplicando r^{0} e r é a razão entre termos consecutivos.
  • Outro teste simples e fundamental: se uma série \sum a_n converge então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se esse limite não for zero, a série diverge imediatamente (teste do termo geral).

Passo 3

Ver a nossa série como uma geométrica: podemos escrever
\frac{(-\pi)^{n}}{8} = \frac{1}{8}\,(-\pi)^{n},
ou seja, é uma série geométrica com a=\dfrac{1}{8} e r=-\pi.

Passo 4

Aplicar a condição de convergência da geométrica e o teste do termo geral:
  • A condição para uma geométrica convergir é |r|<1. Aqui
|r| = |-\pi| = \pi.
Como \pi>1, temos |r|>1, portanto a série geométrica não satisfaz a condição necessária para convergência.
  • Pelo teste do termo geral, observe o limite do termo:
\lim_{n\to\infty}\frac{(-\pi)^{n}}{8}
não é 0; de fato |(-\pi)^n|=\pi^{n}\to\infty, então o termo geral não tende a zero. Assim, pela contrapartida do teste do termo geral, a série diverge.

Passo 5

Conclusão: a série diverge e, portanto, não possui soma finita. Não faz sentido aplicar a fórmula da soma da geométrica porque a hipótese |r|<1 não é satisfeita.

Resposta

A série diverge (não possui soma).

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