Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma. A série dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral da série é
para . - Não há outros dados numéricos além de
e do fator .
Passo 2
Identificar a forma da série e lembrar testes úteis (pequena aula):
- Uma série geométrica tem a forma
, onde é o primeiro termo e é a razão. Para essa série vale a fórmula (quando converge):
Aqui
e
são números:
é o coeficiente multiplicando
e
é a razão entre termos consecutivos.
- Outro teste simples e fundamental: se uma série
converge então o termo geral satisfaz
Se esse limite não for zero, a série diverge imediatamente (teste do termo geral).
Passo 3
Ver a nossa série como uma geométrica: podemos escrever
ou seja, é uma série geométrica com
e
.
Passo 4
Aplicar a condição de convergência da geométrica e o teste do termo geral:
- A condição para uma geométrica convergir é
. Aqui
Como
, temos
, portanto a série geométrica não satisfaz a condição necessária para convergência.
- Pelo teste do termo geral, observe o limite do termo:
não é
; de fato
, então o termo geral não tende a zero. Assim, pela contrapartida do teste do termo geral, a série diverge.
Passo 5
Conclusão: a série diverge e, portanto, não possui soma finita. Não faz sentido aplicar a fórmula da soma da geométrica porque a hipótese
não é satisfeita.
Resposta
A série diverge (não possui soma).