Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
\sum_{n=4}^{\infty} 2^{n} 3^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=4}^{\infty} 2^{n}3^{-n}
converge ou diverge e, caso convirja, calcular sua soma.
Informações dadas (exatamente): a série é uma soma infinita que começa em n=4 e tem termo geral 2^{n}3^{-n}.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral de forma mais simples para reconhecer o tipo de série:
2^{n}3^{-n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Portanto a série fica
\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Observação clara: isso é uma série geométrica (cada termo é uma potência de uma razão fixa \dfrac{2}{3}).

Passo 3

Lembrete sobre séries geométricas (explicação passo a passo, para a prova):
  • Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
onde r é a razão comum.
  • Critério de convergência: essa série converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge1, diverge.
  • Soma quando converge: se |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Derivação rápida (útil na prova): o somatório parcial até N é
S_N=\sum_{n=0}^{N}r^{n}=1+r+\cdots+r^{N}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Quando |r|<1, tem-se r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, então S_N\to\dfrac{1}{1-r}.

Passo 4

Aplicando o critério ao nosso caso: aqui r=\dfrac{2}{3}. Verificamos
\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1,
logo a série converge (porque é geométrica com |r|<1).

Passo 5

Calcular a soma da série que começa em n=4. Podemos usar o fato
\sum_{n=4}^{\infty} r^{n}=r^{4}\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=r^{4}\cdot\frac{1}{1-r},
válido quando |r|<1. Substituindo r=\dfrac{2}{3}:
r^{4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{16}{81}, \qquad 1-r=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Logo a soma é
\frac{16/81}{1/3}=\frac{16}{81}\cdot\frac{3}{1}=\frac{48}{81}=\frac{16}{27}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: a série converge porque a razão \dfrac{2}{3} tem módulo menor que 1. Na prova, ao ver um termo na forma a^{n}b^{-n} é comum juntar as potências em \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} e reconhecer uma geométrica; daí aplicar a fórmula direta para a soma (lembrar de ajustar o índice quando a soma não começa em n=0).

Resposta

Converge; soma = \dfrac{16}{27}

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