Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja. \sum_{n=4}^{\infty} 2^{n} 3^{-n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=4}^{\infty} 2^{n}3^{-n}
converge ou diverge e, caso convirja, calcular sua soma.
Informações dadas (exatamente): a série é uma soma infinita que começa em n=4 e tem termo geral 2^{n}3^{-n}.
Passo 2
Reescrevendo o termo geral de forma mais simples para reconhecer o tipo de série:
2^{n}3^{-n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Portanto a série fica
\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Observação clara: isso é uma série geométrica (cada termo é uma potência de uma razão fixa \dfrac{2}{3}).
Passo 3
Lembrete sobre séries geométricas (explicação passo a passo, para a prova):
Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
onde r é a razão comum.
Critério de convergência: essa série converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge1, diverge.
Soma quando converge: se |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Derivação rápida (útil na prova): o somatório parcial até N é
Interpretação rápida e dica de prova: a série converge porque a razão \dfrac{2}{3} tem módulo menor que 1. Na prova, ao ver um termo na forma a^{n}b^{-n} é comum juntar as potências em \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} e reconhecer uma geométrica; daí aplicar a fórmula direta para a soma (lembrar de ajustar o índice quando a soma não começa em n=0).