Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{4}{2 n+1}-\frac{4}{2 n+5}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se determinar se a série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{4}{2 n+1}-\dfrac{4}{2 n+5}\right) converge ou diverge e, caso convirja, calcular sua soma.
  • A série é a soma, para n de 0 a \infty, dos termos \dfrac{4}{2 n+1}-\dfrac{4}{2 n+5}.
  • Nenhuma outra informação numérica é fornecida além da expressão geral; o índice começa em n=0.

Passo 2

Definir a soma parcial e o objetivo prático: mostrar convergência calculando \lim_{N\to\infty} S_N.
  • Definir a soma parcial S_N como a soma dos primeiros N+1 termos:
S_N=\sum_{n=0}^{N}\left(\frac{4}{2 n+1}-\frac{4}{2 n+5}\right).
  • Se o limite \displaystyle\lim_{N\to\infty}S_N existir e for finito, a série converge e esse limite é a soma.

Passo 3

Fatorar o 4 e escrever as duas somas separadas para facilitar reindexação e ver cancelamentos (idéia telescópica).
  • Escrever:
S_N = 4\sum_{n=0}^{N}\left(\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+5}\right) =4\left(\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2 n+1}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2 n+5}\right).

Passo 4

Reindexar a segunda soma para evidenciar a sobreposição de termos e o cancelamento telescópico.
  • Note que 2n+5=2(n+2)+1. Faça a mudança de variável j=n+2 na segunda soma; quando n=0 temos j=2, e quando n=N temos j=N+2. Assim:
\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2 n+5}=\sum_{j=2}^{N+2}\frac{1}{2 j+1}.
  • Substituindo em S_N:
S_N=4\left(\sum_{j=0}^{N}\frac{1}{2 j+1}-\sum_{j=2}^{N+2}\frac{1}{2 j+1}\right).

Passo 5

Efetuar o cancelamento (telescópico) observando quais índices permanecem após a subtração.
  • As somas envolvem termos com o mesmo tipo \dfrac{1}{2j+1}. Ao subtrair, os termos com j=2,3,\dots,N cancelam entre as duas somas. Restam os termos não sobrepostos:
    • Da primeira soma (índices j=0,1,\dots,N) sobram os termos com j=0 e j=1.
    • Da segunda soma (índices j=2,\dots,N+2) sobram os termos com j=N+1 e j=N+2, com sinal negativo.
  • Portanto:
S_N = 4\left(\frac{1}{2\cdot 0+1}+\frac{1}{2\cdot 1+1}-\frac{1}{2(N+1)+1}-\frac{1}{2(N+2)+1}\right).
  • Escrevendo explicitamente:
S_N = 4\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2N+3}-\frac{1}{2N+5}\right).

Passo 6

Simplificar S_N e preparar o limite N\to\infty.
  • Calcular \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}. Então:
S_N = 4\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{2N+3}-\frac{1}{2N+5}\right) = \frac{16}{3}-4\left(\frac{1}{2N+3}+\frac{1}{2N+5}\right).

Passo 7

Tomar o limite quando N\to\infty para decidir convergência e obter a soma.
  • Usar que \displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+3}=0 e \displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+5}=0. Logo
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{16}{3}-4(0+0)=\frac{16}{3}.
  • Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge e sua soma é \dfrac{16}{3}.

Passo 8

Dica rápida e intuitiva (para a prova): reconhecimento de séries telescópicas.
  • Quando um termo geral vem como diferença de duas frações com índices deslocados (aqui \dfrac{1}{2n+1} e \dfrac{1}{2n+5}), tente escrever a soma parcial e reindexar para ver cancelamentos. Isso costuma reduzir a soma parcial a poucos termos nas extremidades, facilitando o cálculo do limite.
  • Exemplo simples parecido: \sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right) tem soma parcial 1-\dfrac{1}{N+2} e soma limite 1.

Resposta

A série converge.
Soma =\dfrac{16}{3}.

Exercícios relacionados