Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se determinar se a série
converge ou diverge e, caso convirja, calcular sua soma. - A série é a soma, para
de a , dos termos . - Nenhuma outra informação numérica é fornecida além da expressão geral; o índice começa em
.
Passo 2
Definir a soma parcial e o objetivo prático: mostrar convergência calculando
.
- Definir a soma parcial
como a soma dos primeiros termos:
- Se o limite
existir e for finito, a série converge e esse limite é a soma.
Passo 3
Fatorar o
e escrever as duas somas separadas para facilitar reindexação e ver cancelamentos (idéia telescópica).
- Escrever:
Passo 4
Reindexar a segunda soma para evidenciar a sobreposição de termos e o cancelamento telescópico.
- Note que
. Faça a mudança de variável na segunda soma; quando temos , e quando temos . Assim:
- Substituindo em
:
Passo 5
Efetuar o cancelamento (telescópico) observando quais índices permanecem após a subtração.
- As somas envolvem termos com o mesmo tipo
. Ao subtrair, os termos com cancelam entre as duas somas. Restam os termos não sobrepostos: - Da primeira soma (índices
) sobram os termos com e . - Da segunda soma (índices
) sobram os termos com e , com sinal negativo.
- Da primeira soma (índices
- Portanto:
- Escrevendo explicitamente:
Passo 6
Simplificar
e preparar o limite
.
- Calcular
. Então:
Passo 7
Tomar o limite quando
para decidir convergência e obter a soma.
- Usar que
e . Logo
- Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Passo 8
Dica rápida e intuitiva (para a prova): reconhecimento de séries telescópicas.
- Quando um termo geral vem como diferença de duas frações com índices deslocados (aqui
e ), tente escrever a soma parcial e reindexar para ver cancelamentos. Isso costuma reduzir a soma parcial a poucos termos nas extremidades, facilitando o cálculo do limite. - Exemplo simples parecido:
tem soma parcial e soma limite .
Resposta
A série converge.
Soma .
Soma