Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
Passo 1
O enunciado fornece a série infinita
O que é pedido:
- Determinar se a série converge ou diverge.
- Caso converja, calcular sua soma.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
para . - A soma é a série dos
de até infinito.
Passo 2
Usar uma identidade básica de logaritmos para simplificar o termo geral. Fórmula que vamos usar (é fundamental e muito usada em provas):
para
. Aqui podemos aplicar com
e
. Assim o termo geral se transforma em uma diferença de logaritmos, que costuma produzir cancelamentos quando somamos vários termos (isso chama-se efeito telescópico).
Aplicando a identidade:
Passo 3
Vamos escrever a soma parcial
(soma dos primeiros termos da série, de
até
) para ver o telescopamento. Definimos
Escrevendo explicitamente os primeiros termos para reconhecer o padrão:
Aqui vê-se a cancelamento em cadeia:
cancela,
cancela, e assim por diante. Tudo que sobra é o primeiro termo positivo e o último termo negativo.
Portanto o somatório parcial reduz-se a
Passo 4
Agora examinamos o comportamento de
quando
. Observação:
é constante finita e
porque
quando
e o logaritmo cresce sem limite. Assim
Isto significa que as somas parciais tendem para
; em outras palavras, a série não converge para um número finito — ela diverge, mais precisamente diverge para
.
Comentário adicional (intuição): exponenciando, temos
e esse produto vai a
quando
, o que corresponde a
. Outra maneira de ver intuitivamente é observar que para grandes
,
e uma soma de termos equivalentes a
diverge (como a harmônica), confirmando a divergência.
Passo 5
Conclusão clara e final: a série não converge para um valor finito; as somas parciais vão para
. Então a série diverge (diverge para
).
Resposta
A série diverge;
.