Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
\sum_{n=3}^{\infty} \ln \left(\frac{3 n+1}{3 n+4}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a série infinita
\sum_{n=3}^{\infty} \ln\!\left(\frac{3n+1}{3n+4}\right).
O que é pedido:
  • Determinar se a série converge ou diverge.
  • Caso converja, calcular sua soma.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\ln\!\left(\dfrac{3n+1}{3n+4}\right) para n\ge3.
  • A soma é a série dos a_n de n=3 até infinito.

Passo 2

Usar uma identidade básica de logaritmos para simplificar o termo geral. Fórmula que vamos usar (é fundamental e muito usada em provas):
\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)=\ln x - \ln y,
para x>0,\,y>0. Aqui podemos aplicar com x=3n+1 e y=3n+4. Assim o termo geral se transforma em uma diferença de logaritmos, que costuma produzir cancelamentos quando somamos vários termos (isso chama-se efeito telescópico).
Aplicando a identidade:
a_n=\ln\!\left(\frac{3n+1}{3n+4}\right)=\ln(3n+1)-\ln(3n+4).

Passo 3

Vamos escrever a soma parcial S_N (soma dos primeiros termos da série, de n=3 até n=N) para ver o telescopamento. Definimos
S_N=\sum_{n=3}^{N}\left[\ln(3n+1)-\ln(3n+4)\right].
Escrevendo explicitamente os primeiros termos para reconhecer o padrão:
\begin{aligned} S_N &= \bigl[\ln(10)-\ln(13)\bigr] \\\ &\quad + \bigl[\ln(13)-\ln(16)\bigr] \\\ &\quad + \bigl[\ln(16)-\ln(19)\bigr] \\\ &\quad + \cdots + \bigl[\ln(3N+1)-\ln(3N+4)\bigr]. \end{aligned}
Aqui vê-se a cancelamento em cadeia: \ln(13) cancela, \ln(16) cancela, e assim por diante. Tudo que sobra é o primeiro termo positivo e o último termo negativo.
Portanto o somatório parcial reduz-se a
S_N=\ln(10)-\ln(3N+4).

Passo 4

Agora examinamos o comportamento de S_N quando N\to\infty. Observação: \ln(10) é constante finita e
\lim_{N\to\infty}\ln(3N+4)=+\infty,
porque 3N+4\to\infty quando N\to\infty e o logaritmo cresce sem limite. Assim
\lim_{N\to\infty}S_N=\ln(10)-\lim_{N\to\infty}\ln(3N+4)=-\infty.
Isto significa que as somas parciais tendem para -\infty; em outras palavras, a série não converge para um número finito — ela diverge, mais precisamente diverge para -\infty.
Comentário adicional (intuição): exponenciando, temos
e^{S_N}=\prod_{n=3}^{N}\frac{3n+1}{3n+4}=\frac{10}{3N+4},
e esse produto vai a 0 quando N\to\infty, o que corresponde a S_N\to\ln 0=-\infty. Outra maneira de ver intuitivamente é observar que para grandes n,
\ln\!\left(\frac{3n+1}{3n+4}\right)=\ln\!\left(1-\frac{3}{3n+4}\right)\approx -\frac{3}{3n+4}\sim -\frac{1}{n},
e uma soma de termos equivalentes a -1/n diverge (como a harmônica), confirmando a divergência.

Passo 5

Conclusão clara e final: a série não converge para um valor finito; as somas parciais vão para -\infty. Então a série diverge (diverge para -\infty).

Resposta

A série diverge; \sum_{n=3}^{\infty}\ln\!\left(\dfrac{3n+1}{3n+4}\right)=-\infty.

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