Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
\sum_{n=1}^{\infty} 5 \cdot 3^{1-2 n}

Passo 1

O enunciado dá a soma infinitas da série
\sum_{n=1}^{\infty} 5\cdot 3^{1-2n}
e pede duas coisas:
  • Determinar se a série converge ou diverge.
  • Caso convirja, calcular a soma.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n = 5\cdot 3^{1-2n}.
  • A série é uma soma de termos com potência exponencial em n.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de forma a identificar um possível fator comum e a razão de uma série geométrica.
Começo manipulando a potência:
3^{1-2n} = 3^{1}\cdot 3^{-2n} = 3\cdot\left(3^{-2}\right)^{n}.
Portanto
a_n = 5\cdot 3^{1-2n} = 5\cdot 3\cdot\left(3^{-2}\right)^{n} = 15\cdot\left(3^{-2}\right)^{n}.
Como 3^{-2} = \dfrac{1}{9}, temos
a_n = 15\cdot\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n}.
Isso mostra que a série original é uma constante vezes uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} com r=\dfrac{1}{9}.

Passo 3

Pequena aula: série geométrica e critério de convergência.
  • Uma série geométrica com termos r^{n} (começando em n=1) tem soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n} = r\frac{1-r^{N}}{1-r},\quad \text{para } r\neq 1.
  • Tomando o limite quando N\to\infty:
    • Se |r|<1, então r^{N}\to 0 e
    \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
    • Se |r|\ge 1, a série diverge (os termos ou não tendem a zero ou a soma parcial não se estabiliza).
  • Se tivermos uma constante C multiplicando a série, a convergência e a soma obedecem:
\sum_{n=1}^{\infty} C\,r^{n} = C\cdot\frac{r}{1-r},\qquad \text{se }|r|<1.

Passo 4

Aplicando o que foi explicado ao nosso caso:
Identificamos r=\dfrac{1}{9}. Como \left| \dfrac{1}{9}\right|<1, a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n} converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n} = \frac{\tfrac{1}{9}}{1-\tfrac{1}{9}} = \frac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{8}{9}} = \frac{1}{8}.
Como nossa série é 15 vezes essa série, a soma da série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} 15\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n} = 15\cdot\frac{1}{8} = \frac{15}{8}.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova: sempre tente fatorar constantes e reescrever potências para reconhecer uma razão r do tipo r^{n}. Se encontrar |r|<1, use a fórmula \dfrac{r}{1-r} (ou multiplique por uma constante quando houver) para obter a soma exata — isso evita cálculos longos com somas parciais.

Resposta

Converge. Soma = \dfrac{15}{8}

Exercícios relacionados