Determine se cada série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{2}e^{-n}
converge ou diverge. Estamos no tópico de testes de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o teste da razão (ou, alternativamente, comparação com uma série geométrica).

Passo 2

Note que todos os termos
a_{n} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{2}e^{-n}
são positivos. Aplicando o teste da razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\bigl(1+\frac{1}{n+1}\bigr)^{2}e^{-(n+1)}} {\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{2}e^{-n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\bigl(1+\frac{1}{n+1}\bigr)^{2}}{\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{2}} \;e^{-1}.

Passo 3

À medida que n\to\infty, temos
\frac{\bigl(1+\tfrac{1}{n+1}\bigr)^{2}}{\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{2}} \longrightarrow 1,
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L = 1\cdot e^{-1} = \frac{1}{e} < 1.
Pelo teste da razão, como L<1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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