Questão 6. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. (Obs.: Não use os testes de comparação.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}}
e, caso seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo principal que vamos usar é o teste do termo geral, que diz que, se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0, a série \sum a_{n} diverge.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral
a_{n} = \frac{1}{1+2^{-n}}.
Temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+2^{-n}} =\frac{1}{1+0} =1.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}=1\neq0, o teste do termo geral garante que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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