Determine se cada série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{e^{1 / n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{e^{1/n}}{n}.
O conteúdo principal é o Critério de Leibniz (séries alternantes) e, em seguida, verificar se há convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{e^{1/n}}{n},
que são os termos positivos da série alternante. Primeiro, verificamos o limite de a_{n} quando n\to\infty. Como
\lim_{n\to\infty}e^{1/n} = e^{0} = 1,
segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}}{n} = \frac{1}{\infty} = 0.

Passo 3

Agora mostramos que a_{n} é monotonicamente decrescente para n\ge1. Considere a função contínua
f(x) = \frac{e^{1/x}}{x},\quad x>0.
Tomando logaritmo,
\ln f(x) = \frac{1}{x} - \ln x.
Derivando em relação a x,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln f(x)\bigr) = -\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} = -\frac{x+1}{x^{2}} < 0\quad(\forall x>0).
Logo \ln f(x) é estritamente decrescente, o que implica f(x) estritamente decrescente e, em particular,
a_{n+1} = f(n+1) < f(n) = a_{n}.

Passo 4

Como a_{n}\ge0, \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 e (a_{n}) é decrescente, o Critério de Leibniz garante que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}
converge.

Passo 5

Para ver que a convergência não é absoluta, observamos que para todo n\ge1 vale
e^{1/n}>1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{e^{1/n}}{n}>\frac{1}{n}.
Como a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge, por comparação segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{1/n}}{n}
também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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