Determine se cada série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
O conteúdo principal é o Critério de Leibniz (séries alternantes) e, em seguida, verificar se há convergência absoluta.
Passo 2
Definimos
que são os termos positivos da série alternante. Primeiro, verificamos o limite de
quando
. Como
segue que
Passo 3
Agora mostramos que
é monotonicamente decrescente para
. Considere a função contínua
Tomando logaritmo,
Derivando em relação a
,
Logo
é estritamente decrescente, o que implica
estritamente decrescente e, em particular,
Passo 4
Como
,
e
é decrescente, o Critério de Leibniz garante que
converge.
Passo 5
Para ver que a convergência não é absoluta, observamos que para todo
vale
Como a série harmônica
diverge, por comparação segue que
também diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo Critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).