(valor 2,0 ) Seja o campo vetorial
.
(a) Encontre, se possível, a função
tal
.
(b) Calcule a integral de linha
, sendo
qualquer caminho que une o ponto
a
.
(a) Encontre, se possível, a função
(b) Calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
(a) encontrar uma função tal que
(função potencial);
(b) calcular a integral de linha entre
e
.
O conteúdo usado será verificação de conservatividade (rotacional) e avaliação de integral de linha por potencial.
(a) encontrar uma função
(b) calcular a integral de linha
O conteúdo usado será verificação de conservatividade (rotacional) e avaliação de integral de linha por potencial.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo calculando o rotacional
Aqui
,
,
,
,
,
.
Em cada componente obtemos zero, logo
Em cada componente obtemos zero, logo
e
é conservativo em
.
Passo 3
Para achar
tal que
integramos em etapas:
- Integramos
em relação a :
- Comparamos com
. Calculamos
- Agora
De
vem
Podemos tomar
. Assim
Passo 4
Como
é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
Calculamos
logo
Resposta
(a)
(b)
(b)