(valor 2,0 ) Seja o campo vetorial \vec{F}=(y z+1) \vec{i}+(x z+1) \vec{j}+(x y+1) \vec{k}.
(a) Encontre, se possível, a função f tal \nabla f=\vec{F}.
(b) Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, sendo C qualquer caminho que une o ponto A(1,1,0) a B(4,5,5).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}=(y z+1)\,\vec{i}+(x z+1)\,\vec{j}+(x y+1)\,\vec{k}
e pede:
(a) encontrar uma função f tal que \nabla f=\vec{F} (função potencial);
(b) calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} entre A(1,1,0) e B(4,5,5).
O conteúdo usado será verificação de conservatividade (rotacional) e avaliação de integral de linha por potencial.

Passo 2

Verificamos se \vec{F} é conservativo calculando o rotacional
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z},\, \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x},\, \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\Bigr).
Aqui \frac{\partial F_{z}}{\partial y}=\frac{\partial(xy+1)}{\partial y}=x, \frac{\partial F_{y}}{\partial z}=\frac{\partial(xz+1)}{\partial z}=x, \frac{\partial F_{x}}{\partial z}=y, \frac{\partial F_{z}}{\partial x}=y, \frac{\partial F_{y}}{\partial x}=z, \frac{\partial F_{x}}{\partial y}=z.
Em cada componente obtemos zero, logo
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}
e \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para achar f tal que \nabla f=\vec{F} integramos em etapas:
  1. Integramos F_x=y z+1 em relação a x:
f(x,y,z)=\int (y z+1)\,dx = x\,(y z+1)+g(y,z) = x\,y\,z + x + g(y,z).
  1. Comparamos com F_{y}=x z+1. Calculamos
\frac{\partial f}{\partial y} = x z + \frac{\partial g}{\partial y} \stackrel{!}{=} x z +1 \;\Longrightarrow\; \frac{\partial g}{\partial y}=1 \;\Longrightarrow\; g(y,z)=y+h(z).
  1. Agora
f(x,y,z)=x y z + x + y + h(z).
De F_{z}=x y+1 vem
\frac{\partial f}{\partial z} = x y + h'(z) \stackrel{!}{=} x y +1 \;\Longrightarrow\; h'(z)=1 \;\Longrightarrow\; h(z)=z+C.
Podemos tomar C=0. Assim
f(x,y,z)=x y z + x + y + z.

Passo 4

Como \vec{F} é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = f\bigl(B\bigr)-f\bigl(A\bigr).
Calculamos
f(4,5,5)=4\cdot5\cdot5+4+5+5=100+14=114,
f(1,1,0)=1\cdot1\cdot0+1+1+0=2,
logo
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=114-2=112.

Resposta

(a) \;f(x,y,z)=x y z + x + y + z.
(b) \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=112.

Exercícios relacionados