Determine para cada uma das séries a seguir se são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{n-2}{n}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{n-2}{n}\right)^{n^{2}}
e pede para classificar sua convergência (absoluta, condicional ou divergente). Aqui o termo geral é
a_n = \Bigl(1 - \frac{2}{n}\Bigr)^{n^{2}}.
Como a_n>0, basta verificar convergência absoluta usando um critério adequado; o teste da raiz é uma boa escolha quando temos expoentes em n.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: calculamos a n-ésima raiz de a_n, ou seja
\bigl(a_n\bigr)^{1/n} =\Bigl[\Bigl(1-\frac{2}{n}\Bigr)^{n^{2}}\Bigr]^{1/n} =\Bigl(1-\frac{2}{n}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Devemos então encontrar o limite
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{2}{n}\Bigr)^{n}.
Lembrando que \lim_{m\to\infty}\bigl(1+\tfrac{x}{m}\bigr)^{m}=e^{x}, aqui basta tomar x=-2, logo
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{2}{n}\Bigr)^{n} =e^{-2}\approx0{,}1353.

Passo 4

Como o teste da raiz afirma que, se
L = \lim_{n\to\infty}\bigl(a_n\bigr)^{1/n}<1,
então a série converge absolutamente, concluímos que
L = e^{-2}<1
implica que
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{n-2}{n}\right)^{n^{2}}
é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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