Determine para cada uma das séries a seguir se são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n!}{\prod_{k=0}^{n}(2 k+1)}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\,n!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência.
O que vamos usar é o Teste da Razão aplicado aos termos em valor absoluto para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Seja
a_n = \frac{n!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}.
Calculamos a razão dos termos em módulo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)\,(2n+3)}} {\displaystyle\frac{n!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}} = \frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{1\cdot3\cdot\cdots(2n+1)}{1\cdot3\cdot\cdots(2n+1)\,(2n+3)} = \frac{n+1}{2n+3}.

Passo 3

Tomando limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+3} = \frac12.
Como esse limite é menor que 1, o Teste da Razão garante que
\sum_{n=2}^{\infty}a_n
converge. Isso significa que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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