O limite da função f(x)=\sqrt{x^{2}-4}-x quando
x \rightarrow \infty vale:
a. 12
b. 0
c. 16
d. -12
e. -8
f. + infinito
g. -infinito

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}-4}-x\bigr).
O conteúdo usado aqui é análise de limites no infinito e a técnica de racionalização de expressões com raiz.

Passo 2

Aplicamos a racionalização multiplicando e dividindo pela conjugada:
\sqrt{x^{2}-4}-x =\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}-4}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}-4}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}-4}+x} =\frac{x^{2}-4 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}+x} =-\frac{4}{\sqrt{x^{2}-4}+x}.

Passo 3

Para x\to\infty escrevemos
\sqrt{x^{2}-4}=x\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}} \approx x\Bigl(1-\frac{2}{x^{2}}\Bigr)=x-\frac{2}{x},
logo o denominador fica
\sqrt{x^{2}-4}+x\approx \Bigl(x-\frac{2}{x}\Bigr)+x=2x-\frac{2}{x}\sim 2x.
Assim,
-\frac{4}{\sqrt{x^{2}-4}+x}\sim -\frac{4}{2x}=-\frac{2}{x}\longrightarrow 0.

Passo 4

Concluímos que o limite é zero.

Resposta

b. 0

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