Questão 1. Determine, assinalando
V ou
F, quais das afirmações são verdadeiras e quais são falsas:
( ) Para qualquer sequência de números reais
\left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 é valido que: Se
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}, então
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0.
( ) Qualquer sequência de números reais positivos não-crescente é convergente.
( ) Para qualquer sequência de números reais
\left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 é valido que: Se
\left(\left|a_{n}\right|\right)_{n \geq 1} é convergente, então
\left(a_{n}\right)_{n \geq 1} é convergente.
( ) Para qualquer sequência de números reais
\left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 é valido que:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=0 \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 .
( ) Para qualquer sequência de números reais
\left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 é valido que: Se
\left(a_{n}\right)_{n \geq 1} é monótona e a subsequência
\left(a_{2 n}\right)_{n \geq 1} é convergente, então
\left(a_{n}\right)_{n \geq 1} é convergente.
( ) Para qualquer sequência de números reais
\left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 : Se
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L<1, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| é convergente.
( )
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2}.
( ) Sejam
\left(a_{n}\right)_{n \geq 0} e
\left(b_{n}\right)_{n \geq 0} sequências definidas por
a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} e
b_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}. Então,
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}.