Determine para cada uma das séries a seguir se são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)-1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n\ln(n)-1}
e decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Como todos os termos são positivos, não há alternância de sinais, logo “convergência absoluta” equivale a “convergência” e “condicional” nem entra em jogo. Precisamos, portanto, testar se a soma é finita ou infinita, usando comparação ou teste da integral.

Passo 2

Vamos comparar com a série conhecida
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n\ln(n)}\,,
que diverge pelo teste da integral (ou pelo teste de condensação de Cauchy). Defina
a_n = \frac{1}{n\ln(n)-1} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n\ln(n)}.
Então
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n\ln(n)-1)}{1/(n\ln(n))} = \lim_{n\to\infty} \frac{n\ln(n)}{n\ln(n)-1} = 1.
Pelo teste de comparação em limite (limit comparison test), como \sum b_n diverge e o limite das razões é finito e não nulo, nossa série \sum a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados