Questão 1. Determine, assinalando V ou F, quais das afirmações são verdadeiras e quais são falsas:
( ) Para qualquer sequência de números reais \left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 é valido que: Se \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}, então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0.
( ) Qualquer sequência de números reais positivos não-crescente é convergente.
( ) Para qualquer sequência de números reais \left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 é valido que: Se \left(\left|a_{n}\right|\right)_{n \geq 1} é convergente, então \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} é convergente.
( ) Para qualquer sequência de números reais \left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 é valido que:
( ) Para qualquer sequência de números reais \left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 é valido que: Se \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} é monótona e a subsequência \left(a_{2 n}\right)_{n \geq 1} é convergente, então \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} é convergente.
( ) Para qualquer sequência de números reais \left(a_{n}\right)_{n} \geq 1 : Se \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L<1, então a série \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| é convergente.
( ) \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2}.
( ) Sejam \left(a_{n}\right)_{n \geq 0} e \left(b_{n}\right)_{n \geq 0} sequências definidas por a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} e b_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}. Então, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}.
Passo 1
O enunciado apresenta oito afirmações sobre sequências (e uma sobre série) e pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve testes de razão, o teorema da convergência de sequências monótonas, propriedades do valor absoluto e limites usuais.
Passo 2
Afirmação 1: “Para qualquer sequência real \bigl(a_n\bigr), se \lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigr|=\tfrac1e<1, então \lim_{n\to\infty}a_n=0.”
Como \lim|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}|<1 existe r<1 tal que, para n grande, \bigl|a_{n+1}\bigr|\le r\,\bigl|a_n\bigr|, gerando decaimento geométrico. Logo a_n\to0.
Resposta: V
Passo 3
Afirmação 2: “Qualquer sequência de reais positivos não-crescente é convergente.”
Sequência não-crescente e limitada inferiormente (por zero) converge pelo teorema da convergência de sequências monótonas.
Resposta: V
Passo 4
Afirmação 3: “Se \bigl(|a_n|\bigr) é convergente, então \bigl(a_n\bigr) é convergente.”
Contraexemplo: a_n=(-1)^n faz |a_n|=1 convergir, mas a_n não converge.
Resposta: F
Passo 5
Afirmação 4: “\lim_{n\to\infty}|a_n|=0\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}a_n=0.”
Como |\cdot| é contínua em zero e |x|\to0 se e somente se x\to0, isso é verdadeiro.
Resposta: V
Passo 6
Afirmação 5: “Se \bigl(a_n\bigr) é monótona e a subsequência \bigl(a_{2n}\bigr) converge, então \bigl(a_n\bigr) converge.”
Para sequência monótona, termos ímpares e pares ficam “espremidos” entre termos pares consecutivos que tendem a um limite; pelo princípio do aperto, toda a sequência converge ao mesmo limite.
Resposta: V
Passo 7
Afirmação 6: “Se \lim_{n\to\infty}\tfrac{a_{n+1}}{a_n}=L<1, então a série \sum|a_n| converge.”
O teste da razão exige \lim|a_{n+1}/a_n|<1. Mas aqui o limite é de a_{n+1}/a_n, que pode ser negativo e ter |L|>1 ainda que L<1. Ex.: a_n=(-2)^n dá \lim a_{n+1}/a_n=-2<1, mas \sum|a_n| diverge.
Resposta: F
Passo 8
Afirmação 7: “\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}.”
Sabe-se que n^{1/n}\to1 e 2^{1/n}\to1, logo os dois limites são iguais.
Resposta: V
Passo 9
Afirmação 8: “Para a_n=(1+\tfrac1n)^n e b_n=\sum_{k=0}^n\tfrac1{k!}, vale \lim a_n=\lim b_n.”
Ambas as sequências convergem para e.
Resposta: V