Determine para cada uma das séries a seguir se são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot(2 n)!}{4^{n} \cdot(n!)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(2n)!}{4^{n}\,(n!)^{2}}
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Aqui vamos usar dois testes:
  1. verificar a convergência absoluta estudando
    \sum |a_n| e
  2. aplicar o critério de Leibniz para séries alternadas em \sum a_n, onde
a_n = (-1)^{n}\,\frac{(2n)!}{4^{n}\,(n!)^{2}}.

Passo 2

Primeiro consideramos a série de termos positivos
\sum_{n=0}^{\infty} b_n, \quad\text{onde}\quad b_n = \left|a_n\right| = \frac{(2n)!}{4^{n}\,(n!)^{2}}.
Fazendo o quociente
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{(2n+2)!}{4^{\,n+1}((n+1)!)^{2}}} {\frac{(2n)!}{4^{\,n}(n!)^{2}}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4\,(n+1)^{2}} = \frac{2n+1}{2n+2}.
Como \lim_{n\to\infty}\tfrac{b_{n+1}}{b_n}=1, o teste da razão é inconclusivo para \sum b_n.

Passo 3

Para entender o comportamento de b_n usamos a aproximação da binomial central
\frac{(2n)!}{(n!)^{2}} \sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi\,n}} \quad\text{quando }n\to\infty.
Logo
b_n = \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi\,n}}.
Como \sum n^{-1/2} diverge (série p-com p=\tfrac12\le1), concluímos que
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
\sum a_n. Precisamos de duas propriedades de b_n:
  1. \lim_{n\to\infty}b_n = 0, pois b_n\sim1/\sqrt{\pi n}\to0.
  2. Para n\ge1,
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2n+1}{2n+2}<1,
portanto b_{n+1}<b_n a partir de certo n.
Essas condições garantem, pelo teste de Leibniz, que
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n b_n converge.

Passo 5

Como a série converge quando considerada alternada, mas diverge em módulo, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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