Determine para cada uma das séries a seguir se são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Aqui vamos usar dois testes:
Aqui vamos usar dois testes:
- verificar a convergência absoluta estudando
e - aplicar o critério de Leibniz para séries alternadas em
, onde
Passo 2
Primeiro consideramos a série de termos positivos
Fazendo o quociente
Como
, o teste da razão é inconclusivo para
.
Passo 3
Para entender o comportamento de
usamos a aproximação da binomial central
Logo
Como
diverge (série
-com
), concluímos que
diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.
Passo 4
Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
. Precisamos de duas propriedades de
:
-
, pois . - Para
,
portanto
a partir de certo
.
Essas condições garantem, pelo teste de Leibniz, que
converge.
Essas condições garantem, pelo teste de Leibniz, que
Passo 5
Como a série converge quando considerada alternada, mas diverge em módulo, ela é condicionalmente convergente.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.