Determine para cada uma das séries a seguir se são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \cdot(2 n)!}{4^{n} \cdot(n!)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\bigl(\tfrac13\bigr)^{n}\,(2n)!}{4^{n}\,(n!)^{2}}
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui temos uma série de termos não negativos, e vamos usar o teste da razão (ou a expressão do coeficiente binomial central) para decidir.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral em função do coeficiente binomial central. Sabendo que
\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^{2}},
temos
a_{n} \;=\; \frac{\bigl(\tfrac13\bigr)^{n}}{4^{n}}\;\frac{(2n)!}{(n!)^{2}} \;=\;\frac{1}{12^{n}}\;\binom{2n}{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{1}{12}\;\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{\,n\,}}.

Passo 4

Para o quociente de binomiais vale
\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{\,n\,}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{1}{12}\,\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\frac{4}{12}=\frac{1}{3}<1.

Passo 5

Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente pelo teste da razão.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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