Questão 3. Determine para quais x \in \mathbb{R}, a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{(2 n)!} é absolutamente convergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de termos
a_n = \frac{n!\,x^n}{(2n)!}
e pede para quais x\in\mathbb{R} ela é absolutamente convergente. Como é uma série de potências em x, vamos usar o teste da razão, que consiste em analisar
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
Ou seja, o limite da razão é sempre zero, independentemente de x.
Passo 4
Pelo teste da razão, se L<1 então a série converge absolutamente. Aqui L=0<1 para todo valor de x. Logo a série converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}.
Resposta
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!\,x^n}{(2n)!} é absolutamente convergente para todo x\in\mathbb{R}.