Questão 3. Determine para quais x \in \mathbb{R}, a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{(2 n)!} é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos
a_n = \frac{n!\,x^n}{(2n)!}
e pede para quais x\in\mathbb{R} ela é absolutamente convergente. Como é uma série de potências em x, vamos usar o teste da razão, que consiste em analisar
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
e verificar se L<1.

Passo 2

Calculamos primeiro a_{n+1}:
a_{n+1} = \frac{(n+1)!\,x^{\,n+1}}{(2n+2)!}.
Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\frac{(n+1)!\,|x|^{n+1}}{(2n+2)!}}{\frac{n!\,|x|^n}{(2n)!}} = (n+1)\,|x|\;\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{(n+1)\,|x|}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{|x|}{2(2n+1)}.

Passo 3

Agora examinamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{2(2n+1)} = 0.
Ou seja, o limite da razão é sempre zero, independentemente de x.

Passo 4

Pelo teste da razão, se L<1 então a série converge absolutamente. Aqui L=0<1 para todo valor de x. Logo a série converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!\,x^n}{(2n)!} é absolutamente convergente para todo x\in\mathbb{R}.

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