Utilize identidades trigonométricas para fatorar a expressão abaixo:
\operatorname{Cos}(x+1 y)-\operatorname{Cos} x
obtendo:
a. -2 \sin (1 y / 2) \cos ((2 x+1 y) / 2)
b. -2 \cos (1 y / 2) \sin ((2 x+1 y) / 2)
c. -2 \cos (1 y / 2) \cos ((2 x+1 y) / 2)
d. -2 \sin (1 y / 2) \sin ((2 x+1 y) / 2)

Passo 1

O enunciado pede para fatorar \cos(x+1y)-\cos(x)
usando identidades trigonométricas.
O conteúdo principal aqui é a fórmula de diferença de cossenos, que expressa \cos u - \cos v em termos de produtos de senos.

Passo 2

Recordando a identidade de diferença de cossenos:
\cos u - \cos v = -2 \sin\!\bigl(\tfrac{u+v}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{u-v}{2}\bigr).
Essa fórmula vem das fórmulas de soma e diferença de ângulos para cosseno e seno.

Passo 3

No nosso caso escolhemos
u = x + 1y, \quad v = x.
Então
u + v = (x + 1y) + x = 2x + 1y, \quad u - v = (x + 1y) - x = 1y.

Passo 4

Substituindo esses valores na identidade obtemos
\cos(x+1y)-\cos(x) = -2 \sin\!\bigl(\tfrac{2x+1y}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{1y}{2}\bigr).
Permutando os fatores para coincidir com as opções, fica
-2 \sin\!\bigl(\tfrac{1y}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{2x+1y}{2}\bigr).

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, essa forma corresponde à letra (d).

Resposta

d

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