Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois sistemas de equações lineares e queremos descobrir se cada um deles tem soluções que não sejam todas zero (solução não nula). Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas homogêneos e determinantes. Vamos precisar montar as matrizes dos sistemas e calcular seus determinantes para ver se podemos ter essas soluções.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro sistema:
x + 3y - 2z = 0 x - 8y + 8z = 0 3x - 2y + 4z = 0
Esse é um sistema de 3 equações com 3 incógnitas. Para saber se ele tem uma solução não nula, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular o seu determinante.
Passo 3
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 3 & -2 1 & -8 & 8 3 & -2 & 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, o sistema tem infinitas soluções (incluindo as não nulas). Se for diferente de zero, a única solução é a trivial (todas as variáveis iguais a zero).
Esse é um sistema de 3 equações com 4 incógnitas. Geralmente, quando temos mais incógnitas do que equações, existe pelo menos uma solução não nula.
Passo 7
Para confirmar, vamos montar a matriz dos coeficientes:
B = 1 & 2 & -5 & 4 2 & -3 & 2 & 3 4 & -7 & 1 & -6
Como temos mais variáveis do que equações, a matriz não é quadrada e não podemos calcular o determinante diretamente. Mas sabemos que com mais variáveis, sempre existe pelo menos uma solução não trivial.
Passo 8
Portanto, o segundo sistema também tem soluções não nulas.