Determine se cada sistema tem solução não nula:
cx+3 y-2 z=0 x-8 y+8 z=0 3 x-2 y+4 z=0 , (i i)cx+2 y-5 z+4 w=0 2 x-3 y+2 z+3 w=0 4 x-7 y+z-6 w=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois sistemas de equações lineares e queremos descobrir se cada um deles tem soluções que não sejam todas zero (solução não nula). Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas homogêneos e determinantes. Vamos precisar montar as matrizes dos sistemas e calcular seus determinantes para ver se podemos ter essas soluções.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro sistema:
x + 3y - 2z = 0 x - 8y + 8z = 0 3x - 2y + 4z = 0
Esse é um sistema de 3 equações com 3 incógnitas. Para saber se ele tem uma solução não nula, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular o seu determinante.

Passo 3

A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 3 & -2 1 & -8 & 8 3 & -2 & 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, o sistema tem infinitas soluções (incluindo as não nulas). Se for diferente de zero, a única solução é a trivial (todas as variáveis iguais a zero).

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 cdot (-8 cdot 4 - 8 cdot (-2)) - 3 cdot (1 cdot 4 - 8 cdot 3) + (-2) cdot (1 cdot (-2) - (-8) cdot 3)
Vamos resolver cada parte:
-8 cdot 4 = -32 8 cdot (-2) = -16 1 cdot 4 = 4 8 cdot 3 = 24 1 cdot (-2) = -2 -8 cdot 3 = -24
Substituindo:
det(A) = 1 cdot (-32 - (-16)) - 3 cdot (4 - 24) + (-2) cdot (-2 - (-24)) = 1 cdot (-16) - 3 cdot (-20) + (-2) cdot (22) = -16 + 60 - 44 = 0

Passo 5

O determinante de A é zero. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, ou seja, existem soluções não nulas.

Passo 6

Agora, vamos analisar o segundo sistema:
x + 2y - 5z + 4w = 0 2x - 3y + 2z + 3w = 0 4x - 7y + z - 6w = 0
Esse é um sistema de 3 equações com 4 incógnitas. Geralmente, quando temos mais incógnitas do que equações, existe pelo menos uma solução não nula.

Passo 7

Para confirmar, vamos montar a matriz dos coeficientes:
B = 1 & 2 & -5 & 4 2 & -3 & 2 & 3 4 & -7 & 1 & -6
Como temos mais variáveis do que equações, a matriz não é quadrada e não podemos calcular o determinante diretamente. Mas sabemos que com mais variáveis, sempre existe pelo menos uma solução não trivial.

Passo 8

Portanto, o segundo sistema também tem soluções não nulas.

Resposta

Ambos os sistemas possuem soluções não nulas.

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