Se
é um inteiro ímpar e
é um sistema completo de resíduos módulo 4, mostre que o mesmo vale para
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um inteiro ímpar e que
é um sistema completo de resíduos módulo 4. Isso significa que, vistas as classes
, os
representam exatamente
. Queremos mostrar que
também é um sistema completo de resíduos módulo 4, ou seja, que os
voltam a dar as quatro classes distintas
.
Passo 2
Como
é ímpar, temos
Da teoria de números, isso garante que existe um inteiro
tal que
isto é,
tem inverso multiplicativo no anel
.
Passo 3
A existência de inverso implica que a aplicação
é injetiva. De fato, se
multiplicando ambos os lados por
obtemos
e como os
são todos distintos modulo 4 (pois
é completo), segue que
. Logo os quatro elementos
têm resíduos distintos módulo 4.
Passo 4
Como há exatamente quatro classes em
e já mostramos que os resíduos de
são quatro e distintos, eles devem ser exatamente
. Portanto
é também um sistema completo de resíduos módulo 4.
Resposta
O conjunto
é um sistema completo de resíduos módulo 4.