Se n é um inteiro ímpar e S=a1, a2, a3, a4 é um sistema completo de resíduos módulo 4, mostre que o mesmo vale para n S=n a1, n a2, n a3, n a4.

Passo 1

O enunciado diz que n é um inteiro ímpar e que
S = a1,a2,a3,a4
é um sistema completo de resíduos módulo 4. Isso significa que, vistas as classes bmod 4, os ai representam exatamente 0,1,2,3. Queremos mostrar que
nS = n a1,n a2,n a3,n a4
também é um sistema completo de resíduos módulo 4, ou seja, que os n aipmod4 voltam a dar as quatro classes distintas 0,1,2,3.

Passo 2

Como n é ímpar, temos
gcd(n,4)=1
Da teoria de números, isso garante que existe um inteiro m tal que
m,n equiv 1 pmod4,
isto é, n tem inverso multiplicativo no anel Z/4Z.

Passo 3

A existência de inverso implica que a aplicação
x ;longmapsto; n,x pmod4
é injetiva. De fato, se
n,aiequiv n,ajpmod4,
multiplicando ambos os lados por m obtemos
aiequiv ajpmod4,
e como os ai são todos distintos modulo 4 (pois S é completo), segue que i=j. Logo os quatro elementos n a1,dots,n a4 têm resíduos distintos módulo 4.

Passo 4

Como há exatamente quatro classes em Z/4Z e já mostramos que os resíduos de n a1,dots,n a4 são quatro e distintos, eles devem ser exatamente 0,1,2,3. Portanto nS é também um sistema completo de resíduos módulo 4.

Resposta

O conjunto n a1,n a2,n a3,n a4 é um sistema completo de resíduos módulo 4.

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