Sejam a, b e m inteiros tais que m>1. Mostre que a equiv b(bmod m) se, e somente se, a equiv b(bmod 2 m) ou a equiv b+m(bmod 2 m).

Passo 1

O enunciado pede para provar uma equivalência envolvendo congruências de inteiros: sejam a,b,minZ com m>1. Mostrar que
aequiv bpmod m Long<=ftrightarrow l(aequiv bpmod2mr);ou;l(aequiv b+mpmod2mr)
O conteúdo usado será a definição de congruência como divisibilidade e a ideia de paridade de um inteiro.

Passo 2

Mostramos que cada uma das condições à direita implica aequiv bpmod m.
Se aequiv bpmod2m, existe kinZ tal que
a-b=2m,k
Como m divide 2m,k, segue que m divide a-b, ou seja, aequiv bpmod m.
Se aequiv b+mpmod2m, existe kinZ tal que
a-(b+m)=2m,k Longrightarrow a-b=m+2m,k=m(1+2k)
Logo, m divide a-b e, portanto, aequiv bpmod m.

Passo 3

Agora mostramos que aequiv bpmod m implica uma das duas condições.
Escreva
a-b=k,m com kinZ
Se k for par, k=2ell para algum ell, então
a-b=2ell,m Longrightarrow aequiv bpmod2m
Se k for ímpar, k=2ell+1, então
a-b=(2ell+1)m=m+2ell,m Longrightarrow a-(b+m)=2ell,m Longrightarrow aequiv b+mpmod2m

Resposta

Portanto, conclui-se que
aequiv bpmod m Long<=ftrightarrow l(aequiv bpmod2mr);ou;l(aequiv b+mpmod2mr)

Exercícios relacionados