Sejam
e
inteiros tais que
. Mostre que
se, e somente se,
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para provar uma equivalência envolvendo congruências de inteiros: sejam
com
. Mostrar que
O conteúdo usado será a definição de congruência como divisibilidade e a ideia de paridade de um inteiro.
Passo 2
Mostramos que cada uma das condições à direita implica
.
Se , existe
tal que
Se
Como
divide
, segue que
divide
, ou seja,
.
Se , existe
tal que
Se
Logo,
divide
e, portanto,
.
Passo 3
Agora mostramos que
implica uma das duas condições.
Escreva
Escreva
Se
for par,
para algum
, então
Se
for ímpar,
, então
Resposta
Portanto, conclui-se que