Mostre que se 2 n equiv 0(bmod 8), então n equiv 0,4(bmod 8).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em aritmética modular, se
2n equiv 0 pmod8
então necessariamente
n equiv 0 pmod8 ou n equiv 4 pmod8
O conteúdo aqui é divisibilidade e congruências, e vamos usar o Teorema do Divisor e o Algoritmo da Divisão.

Passo 2

Da hipótese 2n equiv 0 pmod8 segue que 8 divide 2n. Logo existe kinZ tal que
2n = 8k
Dividindo ambos os lados por 2, obtemos
n = 4k

Passo 3

Agora aplicamos o Algoritmo da Divisão a k pelo divisor 2. Há inteiros q e r com
k = 2q + r,
onde rin0,1.

Passo 4

Substituindo k em n = 4k temos
n = 4(2q + r) = 8q + 4r
Como r é 0 ou 1, obtemos dois casos:
  • Se r=0, então n = 8q, ou seja n equiv 0 pmod8.
  • Se r=1, então n = 8q + 4, ou seja n equiv 4 pmod8.

Resposta

Portanto, a partir de 2n equiv 0pmod8 segue que
n equiv 0 pmod8 ou n equiv 4 pmod8

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