Determine os valores de para que o sistema tenha:
(a) solução única; (b) nenhuma solução; (c) mais de uma solução.
(i) (iii) cx+y+k z=2 3 x+4 y+2 z=k 2 x+3 y-z=1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de sistemas lineares com parâmetro k . A gente precisa descobrir para quais valores de k cada sistema tem:
a) Uma solução única;
b) Nenhuma solução;
c) Mais de uma solução.
Para isso, vamos usar determinantes e a regra de Cramer, que nos ajuda a verificar se um sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas soluções. Vamos lá!
Passo 2
Sistema (i):
k x + y + z = 1 x + k y + z = 1 x + y + k z = 1
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante para ver quando ele é diferente de zero (solução única) ou igual a zero (possivelmente nenhuma ou infinitas soluções).
Passo 3
A matriz dos coeficientes é:
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
O determinante de A é dado por:
det(A) = k(k cdot k - 1 cdot 1) - 1(1 cdot k - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - k cdot 1)
Solução única: Quando det(A) neq 0 , ou seja, k neq 1 e k neq -2 .
Nenhuma ou mais de uma solução: Quando det(A) = 0 , ou seja, k = 1 ou k = -2 . Precisaríamos verificar cada caso, mas geralmente nesses casos pode haver nenhuma ou infinitas soluções.
Passo 6
Sistema (ii):
x + 2 y + k z = 1 2 x + k y + 8 z = 3
Aqui temos um sistema de duas equações com três incógnitas, o que normalmente tem infinitas soluções, mas queremos ver se há valores de k que impedem isso.
Passo 7
Vamos verificar se as equações são proporcionales ou não. Se forem proporcionais, pode não haver solução ou ter infinitas soluções.
Multiplicando a primeira equação por 2:
2x + 4y + 2k z = 2
Comparando com a segunda equação:
2x + k y + 8 z = 3
Igualando os coeficientes:
4y + 2k z = k y + 8 z (4 - k) y + (2k - 8) z = 1
Para que as equações sejam proporcionais, os coeficientes devem estar em uma mesma proporção, o que não acontece a menos que k satisfaça certas condições.
Passo 8
Analisando det(A) para este sistema, onde:
A = 1 & 2 & k 2 & k & 8
Como é um sistema com mais incógnitas que equações, o determinante não se aplica diretamente, mas podemos ver que para qualquer k , teremos pelo menos uma solução livre, portanto sempre terá mais de uma solução.
Passo 9
Conclusão para o Sistema (ii):
Solução única: Não acontece, porque temos mais incógnitas que equações.
Nenhuma solução: Não ocorre, pois as equações não são inconsistentes para nenhum valor de k .
Mais de uma solução: Para todo valor de k , o sistema tem infinitas soluções.
Passo 10
Sistema (iii):
x + y + k z = 2 3 x + 4 y + 2 z = k 2 x + 3 y - z = 1
Vamos novamente montar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante para descobrir os valores de k .
Solução única: Quando det(A) neq 0 , ou seja, k neq 3 .
Nenhuma ou mais de uma solução: Quando det(A) = 0 , ou seja, k = 3 . Precisaríamos verificar substituindo k = 3 no sistema para ver se há inconsistência ou infinitas soluções.
Resposta
Resumindo:
Sistema (i):
Solução única: Para todo k diferente de 1 e -2.
Nenhuma ou mais de uma solução: Para k = 1 e k = -2 .
Sistema (ii):
Mais de uma solução: Para todo valor de k .
Não há valores de k que levem a solução única ou nenhuma solução.