Determine os valores de k para que o sistema tenha:
(a) solução única; (b) nenhuma solução; (c) mais de uma solução.
(i) lk x+y+z=1 x+k y+z=1 x+y+k z=1, (i i)cx+2 y+k z=1 2 x+k y+8 z=3 (iii) cx+y+k z=2 3 x+4 y+2 z=k 2 x+3 y-z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de sistemas lineares com parâmetro k . A gente precisa descobrir para quais valores de k cada sistema tem:
a) Uma solução única;
b) Nenhuma solução;
c) Mais de uma solução.
Para isso, vamos usar determinantes e a regra de Cramer, que nos ajuda a verificar se um sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas soluções. Vamos lá!

Passo 2

Sistema (i):
k x + y + z = 1 x + k y + z = 1 x + y + k z = 1
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante para ver quando ele é diferente de zero (solução única) ou igual a zero (possivelmente nenhuma ou infinitas soluções).

Passo 3

A matriz dos coeficientes é:
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
O determinante de A é dado por:
det(A) = k(k cdot k - 1 cdot 1) - 1(1 cdot k - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - k cdot 1)
Simplificando:
det(A) = k(k^2 - 1) - 1(k - 1) + 1(1 - k) = k^3 - k - k + 1 + 1 - k = k^3 - 3k + 2

Passo 4

Vamos resolver a equação det(A) = 0 :
k^3 - 3k + 2 = 0
Fatorando:
(k - 1)(k^2 + k - 2) = 0 Rightarrow (k - 1)(k + 2)(k - 1) = 0
Então, as raízes são k = 1 e k = -2 .

Passo 5

Conclusão para o Sistema (i):
  • Solução única: Quando det(A) neq 0 , ou seja, k neq 1 e k neq -2 .
  • Nenhuma ou mais de uma solução: Quando det(A) = 0 , ou seja, k = 1 ou k = -2 . Precisaríamos verificar cada caso, mas geralmente nesses casos pode haver nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 6

Sistema (ii):
x + 2 y + k z = 1 2 x + k y + 8 z = 3
Aqui temos um sistema de duas equações com três incógnitas, o que normalmente tem infinitas soluções, mas queremos ver se há valores de k que impedem isso.

Passo 7

Vamos verificar se as equações são proporcionales ou não. Se forem proporcionais, pode não haver solução ou ter infinitas soluções.
Multiplicando a primeira equação por 2:
2x + 4y + 2k z = 2
Comparando com a segunda equação:
2x + k y + 8 z = 3
Igualando os coeficientes:
4y + 2k z = k y + 8 z (4 - k) y + (2k - 8) z = 1
Para que as equações sejam proporcionais, os coeficientes devem estar em uma mesma proporção, o que não acontece a menos que k satisfaça certas condições.

Passo 8

Analisando det(A) para este sistema, onde:
A = 1 & 2 & k 2 & k & 8
Como é um sistema com mais incógnitas que equações, o determinante não se aplica diretamente, mas podemos ver que para qualquer k , teremos pelo menos uma solução livre, portanto sempre terá mais de uma solução.

Passo 9

Conclusão para o Sistema (ii):
  • Solução única: Não acontece, porque temos mais incógnitas que equações.
  • Nenhuma solução: Não ocorre, pois as equações não são inconsistentes para nenhum valor de k .
  • Mais de uma solução: Para todo valor de k , o sistema tem infinitas soluções.

Passo 10

Sistema (iii):
x + y + k z = 2 3 x + 4 y + 2 z = k 2 x + 3 y - z = 1
Vamos novamente montar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante para descobrir os valores de k .

Passo 11

A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & k 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1
Calculando o determinante:
det(A) = 1(4 cdot (-1) - 2 cdot 3) - 1(3 cdot (-1) - 2 cdot 2) + k(3 cdot 3 - 4 cdot 2)
Simplificando:
det(A) = 1(-4 - 6) - 1(-3 - 4) + k(9 - 8) = -10 + 7 + k(1) = -3 + k

Passo 12

Vamos resolver det(A) = 0 :
-3 + k = 0 Rightarrow k = 3

Passo 13

Conclusão para o Sistema (iii):
  • Solução única: Quando det(A) neq 0 , ou seja, k neq 3 .
  • Nenhuma ou mais de uma solução: Quando det(A) = 0 , ou seja, k = 3 . Precisaríamos verificar substituindo k = 3 no sistema para ver se há inconsistência ou infinitas soluções.

Resposta

Resumindo:
  • Sistema (i):
    • Solução única: Para todo k diferente de 1 e -2.
    • Nenhuma ou mais de uma solução: Para k = 1 e k = -2 .
  • Sistema (ii):
    • Mais de uma solução: Para todo valor de k .
    • Não há valores de k que levem a solução única ou nenhuma solução.
  • Sistema (iii):
    • Solução única: Para todo k diferente de 3.
    • Nenhuma ou mais de uma solução: Para k = 3 .

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